Для работы компонента во всех современных браузерах с поддержкой ES5 достаточно использовать следующий снипнет, состоящий из подключения vue, и непосредственного импорта компонента.
vue-weather-widget.js находится в корне проекта
<script src="https://unpkg.com/vue"></script>
<script src="vue-weather-widget.js"></script>
<vue-weather-widget></vue-weather-widget>