fe-r-oz/gottesmancode

Homegrown Implementation of Gottesman Code!

[[2^j ,2^j - j - 2, 3]] Gottesman's Code

This is a homegrown implementation of the family of [[2^j, 2^j - j - 2, 3]] Gottesman codes, also known as [[2^j, 2^j - j - 2, 3]] quantum Hamming codes, as described in Gottesman's 1997 PhD thesis on 'Stabilizer Codes and Quantum Error Correction' [1].

Key details for the [[8, 3, 3]] code when j = 3 using Stabilizer Formalism:

• [2] utilizes an explicit construction method for the stabilizer generators. The remaining m generators, apart from Mx and Mz, are constructed using the check matrix [Hm|AmHm], where Hm = [c0, c1, ..., c^2m − 1]. Each column ck (for k = 0, 1, ..., 2^m − 1) represents a binary vector corresponding to the integer k. Also, Am refers to any invertible m × m matrix devoid of fixed points such that Am​.s ≠ 0 and Am.s ≠ s for all s ∈ F₂ᵐ.
• [3] introduces alternative stabilizer generators for the [[8, 3, 3]] code. It identifies permutations effective for all stabilizer generators except for X^⊗8 and Z^⊗8. However, these can be replaced with XXYZIYZI and ZZIXYIXY, respectively. The stabilizer generators are permuted to achieve desired properties, reflecting an alternative approach to constructing the stabilizer code.

Notes:

• This implementation adopts the Gottesman Notation for the [[8, 3, 3]] stabilizer code as depicted in Table 3.3 on Page 22 on the Gottesman's PhD thesis. Additionally, for j = 4, our [[16, 10, 3]] stabilizer code stemming from Gottesman(4) can be cross-verified from **Table 8.1 on Page 91 **as well [1]
• The differences between [1], [2], and [3] primarily lie in the choice of stabilizer generators and their permutations for the [[8, 3, 3]] stabilizer code. """

Requirements

• QuantumClifford.ECC: AbstractECC parity_checks

How to Install?

To successfull run Gottesman.jl, follow these steps:

• Download: Download the QuantumClifford.jl source file.
• Place in src folder: Move the downloaded source file into the src folder of your Julia environment.
• Include: Include the file in your Julia code. For example, if you want to include it in a file named ECC.jl, add the following line at the end of ECC.jl:

 include("codes/gottesmencode.jl")

• Package Development: Develop the package using Pkg.develop(). Navigate to the root directory of your Julia environment and run:

using Pkg
Pkg.develop(path="path_to_QuantumClifford.jl")

• Usage: Once the package is successfully installed, you can use it in your Julia code. Import the necessary functions or modules from QuantumClifford.jl using:

using QuantumClifford.ECC: Gottesman, Parity_checks
parity_checks(Gottesman(4))

Exploration: Play around with the code. Experiment with different values of js and see the symmetries in the Stabilizer Code

Results

Stabilizer of [[8,3,3]] Code when j==3

julia> parity_checks(Gottesman(4))
+ XXXXXXXXXXXXXXXX
+ ZZZZZZZZZZZZZZZZ
+ _X_X_X_XZYZYZYZY
+ _X_XZYZYX_X_YZYZ
+ _XZYX_YZ_XZYX_YZ
+ _YXZ_YXZ_YXZ_YXZ

Stabilizer of [[16, 10, 3]] when j==4 Code

parity_checks(Gottesman(4))
+ XXXXXXXXXXXXXXXX
+ ZZZZZZZZZZZZZZZZ
+ _X_X_X_XZYZYZYZY
+ _X_XZYZYX_X_YZYZ
+ _XZYX_YZ_XZYX_YZ
+ _YXZ_YXZ_YXZ_YXZ

Stabilizer of [[32, 27, 3]] when j==5 Code

parity_checks(Gottesman(5))
+ XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
+ ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ
+ _X_X_X_X_X_X_X_XZYZYZYZYZYZYZYZY
+ _X_X_X_XZYZYZYZYX_X_X_X_YZYZYZYZ
+ _X_XZYZYX_X_YZYZ_X_XZYZYX_X_YZYZ
+ _XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ
+ _YXZXZ_Y_YXZXZ_Y_YXZXZ_Y_YXZXZ_Y

Stabilizer of [[1032, 1012, 3]] when j==10 Code

julia> parity_checks(Gottesman(10))
+ XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX⋯XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
+ ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ⋯ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ
+ _X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_⋯ZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZY
+ _X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_⋯YZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZ
+ _X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_⋯YZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZ
+ _X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_XZYZYZYZYZYZYZYZ⋯X_X_X_X_X_X_X_X_YZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZ
+ _X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_XZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYX_X_X_X_X_X_X_X⋯ZYZYZYZYZYZYZYZYX_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_YZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZ
+ _X_X_X_X_X_X_X_XZYZYZYZYZYZYZYZYX_X_X_X_X_X_X_X_YZYZYZYZYZYZYZYZ_X_X_X_X_X_X_X_⋯YZYZYZYZYZYZYZYZ_X_X_X_X_X_X_X_XZYZYZYZYZYZYZYZYX_X_X_X_X_X_X_X_YZYZYZYZYZYZYZYZ
+ _X_X_X_XZYZYZYZYX_X_X_X_YZYZYZYZ_X_X_X_XZYZYZYZYX_X_X_X_YZYZYZYZ_X_X_X_XZYZYZYZ⋯X_X_X_X_YZYZYZYZ_X_X_X_XZYZYZYZYX_X_X_X_YZYZYZYZ_X_X_X_XZYZYZYZYX_X_X_X_YZYZYZYZ
+ _X_XZYZYX_X_YZYZ_X_XZYZYX_X_YZYZ_X_XZYZYX_X_YZYZ_X_XZYZYX_X_YZYZ_X_XZYZYX_X_YZY⋯_X_XZYZYX_X_YZYZ_X_XZYZYX_X_YZYZ_X_XZYZYX_X_YZYZ_X_XZYZYX_X_YZYZ_X_XZYZYX_X_YZYZ
+ _XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_Y⋯_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ
+ _YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YX⋯_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ_YXZ

Stabilizer of [[32768, 32751, 3]] when j==15 Code

julia> parity_checks(Gottesman(15))
+ XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX⋯XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
+ ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ⋯ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ
+ _X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_⋯ZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZY
+ _X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_⋯YZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZ
+ _X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_⋯YZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZ
+ _X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_⋯YZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZ
+ _X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_⋯YZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZ
+ _X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_⋯YZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZ
+ _X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_⋯YZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZ
+ _X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_⋯YZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZ
+ _X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_XZYZYZYZYZYZYZYZ⋯X_X_X_X_X_X_X_X_YZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZ
+ _X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_XZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYX_X_X_X_X_X_X_X⋯ZYZYZYZYZYZYZYZYX_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_X_YZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZYZ
+ _X_X_X_X_X_X_X_XZYZYZYZYZYZYZYZYX_X_X_X_X_X_X_X_YZYZYZYZYZYZYZYZ_X_X_X_X_X_X_X_⋯YZYZYZYZYZYZYZYZ_X_X_X_X_X_X_X_XZYZYZYZYZYZYZYZYX_X_X_X_X_X_X_X_YZYZYZYZYZYZYZYZ
+ _X_X_X_XZYZYZYZYX_X_X_X_YZYZYZYZ_X_X_X_XZYZYZYZYX_X_X_X_YZYZYZYZ_X_X_X_XZYZYZYZ⋯X_X_X_X_YZYZYZYZ_X_X_X_XZYZYZYZYX_X_X_X_YZYZYZYZ_X_X_X_XZYZYZYZYX_X_X_X_YZYZYZYZ
+ _X_XZYZYX_X_YZYZ_X_XZYZYX_X_YZYZ_X_XZYZYX_X_YZYZ_X_XZYZYX_X_YZYZ_X_XZYZYX_X_YZY⋯_X_XZYZYX_X_YZYZ_X_XZYZYX_X_YZYZ_X_XZYZYX_X_YZYZ_X_XZYZYX_X_YZYZ_X_XZYZYX_X_YZYZ
+ _XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_Y⋯_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ_XZYX_YZ
+ _YXZXZ_Y_YXZXZ_Y_YXZXZ_Y_YXZXZ_Y_YXZXZ_Y_YXZXZ_Y_YXZXZ_Y_YXZXZ_Y_YXZXZ_Y_YXZXZ_⋯_YXZXZ_Y_YXZXZ_Y_YXZXZ_Y_YXZXZ_Y_YXZXZ_Y_YXZXZ_Y_YXZXZ_Y_YXZXZ_Y_YXZXZ_Y_YXZXZ_Y

Physical Qubits vs Logical Qubit Graphs

Gottesman(3), Gottesman(4), Gottesman(5)

References

• Gottesman, D. (1997). Stabilizer Codes and Quantum Error Correction [quant-ph/9705052]. arXiv:quant-ph/9705052 arxiv
• Yu, S., Bierbrauer, J., Dong, Y., Chen, Q., & Oh, C.H. (2009). All the stabilizer codes of distance 3. arxiv
• Chao, R., & Reichardt, B. W. (2018). Quantum error correction with only two extra qubits. Physical Review Letters, 121(5), 050502. doi