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SYSU 凌青老师的数值计算方法 课堂作业

Numerical-Methods

SYSU 凌青老师的数值计算方法 课堂作业

HW1

一、请实现下述算法，求解线性方程组 Ax=b，其中 A 为 nⅹn 维的已知矩阵，b 为 n 维的已知向量，x 为 n 维的未知向量。

（1）高斯消去法。

（2）列主元消去法。

A 与 b 中的元素服从独立同分布的正态分布。令 n=10、50、100、200，测试计算时间并绘制曲线。

二、请实现下述算法，求解线性方程组 Ax=b，其中 A 为 nⅹn 维的已知矩阵，b 为 n 维的已知向量，x 为 n 维的未知向量。

（1）Jacobi 迭代法。

（2）Gauss-Seidel 迭代法。

（3）逐次超松弛迭代法。

（4）共轭梯度法。

A 为对称正定矩阵，其特征值服从独立同分布的[0,1]间的均匀分布；b 中的元素服从独立同分布的正态分布。令 n=10、50、100、200，分别绘制出算法的收敛曲线，横坐标为迭代步数，纵坐标为相对误差。比较 Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法、逐次超松弛迭代法、共轭梯度法与高斯消去法、列主元消去法的计算时间。改变逐次超松弛迭代法的松弛因子，分析其对收敛速度的影响。

三、在 Epinions 社交数据集（https://snap.stanford.edu/data/soc-Epinions1.html ） 中，每个网络节点可以选择信任其它节点。借鉴 Pagerank 的**编写程序，对网络节点的受信任程度进行评分。在实验报告中，请给出伪代码。

HW2

一、已知 sin(0.32)=0.314567，sin(0.34)=0.333487，sin(0.36)=0.352274，sin(0.38)=0.370920。请采用线性插值、二次插值、三次插值分别计算 sin(0.35)的值。

二、请采用下述方法计算 115 的平方根，精确到小数点后六位。

（1）二分法。选取求根区间为[10, 11]。

（2）牛顿法。

（3）简化牛顿法。

（4）弦截法。

绘出横坐标分别为计算时间、迭代步数时的收敛精度曲线。

三、请采用递推最小二乘法求解超定线性方程组 Ax=b，其中 A 为 mⅹn 维的已知矩阵，b 为m 维的已知向量，x 为 n 维的未知向量，其中 n=10，m=10000。A 与 b 中的元素服从独立同分布的正态分布。绘出横坐标为迭代步数时的收敛精度曲线。

四、请编写 1024 点快速傅里叶变换的算法。自行生成一段混杂若干不同频率正弦的信号，测试所编写的快速傅里叶变换算法。

五、请采用复合梯形公式与复合辛普森公式，计算 sin(x)/x 在[0, 1]范围内的积分。采样点数目为 5、9、17、33。

六、请采用下述方法，求解常微分方程初值问题 y’=y-2x/y，y(0)=1，计算区间为[0, 1]，步长为 0.1。

（1）前向欧拉法。

（2）后向欧拉法。

（3）梯形方法。

（4）改进欧拉方法