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Theories of symmetry in crystalline materials

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crystal-symmetry's Issues

计算特定晶体群的Wyckoff位置

motivation

晶体的设计空间

solution

给定群元$g \in C$，其中$C$为晶体群，$\text{card}(C)=230$，给出其自由度$\text{df}(g)$和对应的坐标表示$A$。

其中晶体群可参考 #2 给出。

对特定的晶体群，可以直接查找相关的wyckoff位置和多重度等，或者下载数据给出，该表格的计算可以参考Wyckoff Position的确定。

每个对称元素都是一个生成元，其相对于群的商群，等于它的等价元个数？（multiplicity），

计算方法：寻找对应变换$(W,w)$的不变点$Wx+ww=x$。

阅读Hermain-Mauguin符号以可视化晶体

motivation

根据HM符号，确定空间群对应的晶体结构。

solution

我们可以按照以下步骤来阅读和解释Hermann-Mauguin空间群符号：

1. 移除大写字母：这通常表示晶格的中心化类型。例如，在"Pbam"中，"P"表示原始晶格。

2. 替换螺旋轴np（如果有）为旋转轴n：螺旋轴是结合旋转和滑动的对称操作。例如，在"Pnma"中的"n"可以替换为"2"，表示存在两次的旋转和滑动。

3. 替换滑移面（如果有）为镜面m：滑移面是一种结合反射和滑动的对称操作。例如，在"C2/c"中的"c"可以替换为"m"，表示存在垂直于c轴的镜面。

4. 获得点群：点群是不考虑平移对称性的空间群，它由旋转和反射操作组成。通过上述步骤，我们可以简化空间群符号以获得其对应的点群。

5. 获得晶体系统和传统单位晶胞：根据晶格类型和晶系，确定晶体所属的系统，如立方、四方、三方等，以及它们使用的单位晶胞类型。

6. 解释空间群符号：结合上述信息，解释每个符号的具体含义。

例子：

• C2/c：

  • 移除大写字母：C2/c 变为 2/c
  • 替换螺旋轴np为旋转轴n：这里没有螺旋轴，所以不变
  • 替换滑移面为镜面m：这里没有滑移面，所以不变
  • 点群：C2
  • 结晶系统：单斜晶系
  • 解释：C表示底心，2表示沿着b轴的二重轴，/c表示存在垂直于c轴的镜面。

• Pbam：

  • 移除大写字母：Pbam 变为 bam
  • 替换螺旋轴np为旋转轴n：这里没有螺旋轴，所以不变
  • 替换滑移面为镜面m：这里b表示存在沿着b轴的滑移面，替换为m
  • 点群：Pm
  • 结晶系统：正交晶系
  • 解释：P表示原始晶格，b表示存在沿着b轴的镜面，a和m表示存在沿着a轴和c轴的镜面。

• I41/acd：

  • 移除大写字母：I41/acd 变为 41/acd
  • 替换螺旋轴np为旋转轴n：这里没有螺旋轴，所以不变
  • 替换滑移面为镜面m：这里c表示存在沿着c轴的滑移面，替换为m
  • 点群：I41
  • 结晶系统：四方晶系
  • 解释：I表示体心晶格，41表示存在四次旋转轴，/a表示存在沿着a轴的旋转反演轴，cd表示存在沿着b和c轴的旋转反演轴。

• Fd3c：

  • 移除大写字母：Fd3c 变为 d3c
  • 替换螺旋轴np为旋转轴n：d3中的d表示存在三次的螺旋轴，替换为3
  • 替换滑移面为镜面m：这里没有滑移面，所以不变
  • 点群：F3
  • 结晶系统：立方晶系
  • 解释：F表示面心晶格，d3表示存在三次的螺旋轴，c表示存在沿着c轴的镜面。

将该符号与晶体类型直接关联可以通过查表工具，直接可视化可以参考可视化程序，主流的软件包Pymatgen也支持这一功能。

问题是：就够了吗，自由度呢？ 参考 #3 ，然后就可以了。

手性声子

motivation

根据提供的两份文件《Chiral Phonons-SICS-Sec 2.pdf》和《Chiral Phonons-SICS-Sec 1.pdf》，给出的基本内容整理：

solution

1. 手性声子首次被观察到的文献是以下哪篇？
   A. H. Chen et al., PRB, 100, 094303 (2019)
   B. H. Zhu et al., Science 359, 579-582 (2018): 通过设计的光学系统给出
   C. M. Gao et al., Nano Lett. 18, 4424 (2018)
   D. J. Luo et al., Science 382, 698−702 (2023)

真正的手性声子指出，所谓手性声子，就是分子除了振动之外的旋转，这给出了一种带有自旋角动量的声子。传统定义的声子是振动的集体模式，问题是：这个旋转不能从平动中合成出来吗？看图发现不太行，尤其是这类 honey comb结构的。

问题：手性声子振动模式位于A还是O分支？

2. 下列哪项不是手性声子的应用？
   A. 频率可调的非简并手性声子
   B. 通过手性声子明亮化的暗激子
   C. 手性声子诱导的有效磁场
   D. 通过手性声子实现的量子纠缠

二、填空题

3. 手性声子的观测受限于_______，导致检测到的声子仅在K点。

valley，能带结构中，电子或声子的能量最低点，通常在布里渊区的某些对称点附近。在固体物理学中，这些valley点是电子或声子态密度最高的地方，也是电子或声子行为表现出显著特性的地方。

4. 在文献 X. Chen et al., Nat. Phys. 15, 221 (2019) 中，手性声子与_______的纠缠被研究。

光子，从量子点激发的光子，通过两条路径和光子发生散射，从而构建了纠缠的体系。

$$ \psi =\frac{1}{\sqrt{2}}( \ket{\sigma_+}\otimes \ket{l=1} \pm i \ket{\sigma_-}\otimes \ket{l=-1}) $$

其中 $\ket{\sigma_+}$ 和 $\ket{\sigma_-}$ 分别表示光子的左右圆偏振态，$\ket{l=1}$ 和 $\ket{l=-1}$ 代表具有角动量$\pm 1$的手性声子。

通过测量可观测量重建密度矩阵可以给出对纠缠度的估计，还有很多其他方法：

在量子信息科学中，纠缠度是衡量量子系统纠缠程度的一个指标。对于量子纠缠的度量，通常有几种不同的方法，具体测量什么取决于系统的性质和纠缠的类型。以下是一些常见的纠缠度量方法：

1. 保真度（Fidelity）：这是衡量一个量子态与理想纠缠态之间接近程度的指标。在上述文章中，通过测量光子的极化并重建其密度矩阵，估计了与完全混合态的保真度，这是对纠缠度的一个间接测量。

2. 纠缠熵（Entanglement Entropy）：这是对于纯纠缠态，通过计算一个量子比特（qubit）与系统其余部分的冯诺依曼熵来量化纠缠度。

3. 协方差（Covariance）：通过测量两个量子比特的相关性，可以评估它们之间的纠缠度。如果两个量子比特高度相关，它们可能处于纠缠态。

4. 贝尔参数（Bell Parameter）：在贝尔不等式的测试中，通过测量特定的关联函数来评估纠缠度，如果贝尔参数违反了局部实在性的界限，则表明存在纠缠。

5. 量子态层析（Quantum State Tomography）：这是一种全面的方法，通过测量量子态的各个概率幅来重建整个量子态，从而可以计算出纠缠度。

6. 量子互信息（Quantum Mutual Information）：这是一种衡量两个量子系统之间信息共享程度的指标，可以用来量化纠缠。

在上述文章中，实验者通过测量光子的极化随机化程度来间接证明纠缠的存在，并通过保真度的测量来定量描述纠缠度。这种方法是基于对子系统（光子）的局部测量，而不需要对整个系统（光子-声子系统）进行完整的量子态层析。

三、简答题

5. 请简述手性声子在不同对称系统中的潜在应用。

频率可调的非简并手性声子、通过手性声子明亮化的暗激子、手性声子诱导的有效磁场、磁化控制通过角动量转移、非常规层间交换耦合、手性声子介导的高温超导性等

6. 描述一下手性声子在生物分子微晶体和纳米纤维中的应用前景。

利用手性声子的光谱线特性促进生物医学成像研究

7. 假设在文献中提到的一个手性声子模式具有特定的频率和波矢，如果改变波矢的大小，将如何影响该模式的频率？请给出计算公式并解释。

给定频率$\omega$，波矢$q$, 则频率为：

$$ \omega(q) = \omega_0 + v\cdot q $$

其中$\omega_0$为初始频率，$v$为群速度。

8. 论述手性声子在磁系统中的角动量对磁化控制的影响。

手性声子在磁系统中的角动量可以影响磁化过程，通过角动量的转移可以实现对磁化状态的控制。例如，在文献 R. Sasaki et al., Nat. Commun. 12, 2599 (2021) 中，表面声波到铁磁自旋矩的角动量转移被用来控制磁化。

9. 讨论手性声子在高温超导性中的作用及其潜在的科学意义。

手性声子在高温超导性中的作用可能与它们对电子配对机制的影响有关。在文献 Y. Gao et al., PRB 108, 064510 (2023) 中，手性声子作为库伯对形成的相互作用传递者，得到的模拟结果也出现了inverse isotope effect，即超导温度与同位素质量成反比。

六、实验设计题

10. 设计一个实验来验证手性声子的存在，并描述你将如何通过拉曼光谱来表征Γ点附近的声子模式。

• 准备具有手性声子特性的样品。

• 使用拉曼光谱仪对样品进行测量，调整激光波长和功率以激发特定的声子模式。

• 记录拉曼散射信号，并分析其频率、强度和偏振特性。

• 通过比较实验数据与理论预测，验证手性声子的存在及其特性。

手性的基础

根据提供的文件内容，我们可以设计一份关于手性（Chirality）和晶体对称性的期末考试题。以下是一些可能的考试题目：

选择题

1. 以下哪个操作可以表示为 $f_{II}$ 的对称操作？

   A. $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

   B. $\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 1 \ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

   C. $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

   D. $\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

第二类操作满足$\det{A}=-1$，因此选B

2. 以下哪个定义正确描述了对映异构体（Enantiomers）？

   A. 具有相同分子式和原子连接顺序，但在空间中原子的三维取向不同的异构分子。

   B. 通过镜像反射相互关联的立体异构体。

   C. 不是镜像反射的立体异构体。

   D. 通过第一种等距变换不能重叠的分子。

B, 是立体异构体中的特殊类型。

3. 以下哪个条件是手性分子的必然属性？

   A. 其对称群只包含第一类操作。
   B. 其对称群包含第二类操作。
   C. 其对称群是点群。
   D. 其对称群是空间群。

A显然，至于对称性是什么不重要

简答题

4. 解释什么是手性（Chirality）以及它与物体的镜像图像之间的关系。

手性即镜像物体无法通过旋转在空间重叠。

手性（Chirality）是一个物体与其镜像图像无法通过第一类等距变换（如旋转和平移）来重叠的性质。

5. 描述什么是手性晶体结构，并给出一个例子。

石英晶体有$\alpha,\beta$的手性结构，互为镜像，石英晶体（Quartz）是一种由二氧化硅（SiO2）构成的矿物，它是一种非常常见的晶体形式。石英晶体具有非常独特的物理性质，包括压电性、光学活性等。在晶体学中，石英晶体表现出手性，这意味着它们可以以两种不同的镜像形态存在，通常被称为左旋石英（Levoglucosan）和右旋石英（Dextroglucosan）。

6. 什么是Sohncke群，它们与手性晶体结构有何关联？

Sohncke群是一类特殊的空间群，它们不包含第二类操作（如反演操作）。这些群与手性晶体结构有关联，因为只有当晶体结构的对称群是Sohncke群时，晶体结构才可能是手性的。

计算题

7. 如果一个晶体结构的对称群包含第二类操作，例如 $m$ 平面，计算其行列式值，并解释这个值对晶体结构手性的影响。

同上，$\det A=-1$。

8. 假设有一个分子，其对称群不包含任何第二类操作，但可以映射到其镜像图像。请描述这个分子的绝对构型，并讨论它是否可以形成手性晶体结构。

不包含第二类，但可以映射，说明映射是第二类的，可以。

论述题

9. 讨论晶体结构的中心对称性如何影响其手性，并给出中心对称与非中心对称晶体结构的例子。

中心对称性对应

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$

其行列式为-1，用它和其他第一类操作可以生成第二类操作，从而非手性。

中心对称的晶体一定非手性。

10. 解释“隐式消旋晶体”（Kryptoracemic crystals）的概念，并讨论为什么它们可以存在于Sohncke类型的空间群中。

手性的充要条件是对称群只有第一类操作（即Sohncke），但是手性未必存在旋光的宏观效果，因为可能手性部分以某种组合的方式消除了旋光？这种现象通常需要假设存在一种伪对称操作，如反演，使得两种对映体在非对称单元**存。如果手性分子处于特殊位置，比如旋转轴上，那么这种伪对称操作就不再是必需的。

考虑手性分子$A$和其手性体$A'$，他们都在晶体的不对称单元中组合为$A-A'$，尽管$A-A'$是以手性的方式结合的，但他们的组合体$B:=A-A'$在不考虑$A,A'$手性的情况下（认为是一个单位原子），是非手性的，如此存在外消旋，但实际上手性的特殊情况。

a bit weired.

实验题

11. 设计一个实验来确定一个未知分子的对映体纯度，包括实验步骤、所需材料和预期结果。

• 制备样品
• 偏振光探测
• 结果分析

实验设计可能包括使用偏振光通过溶液或晶体来测定对映体过量（ee值）。实验步骤可能包括制备含有未知分子的溶液，使用偏振光测量溶液的旋光性，然后根据旋光度计算对映体纯度。预期结果是得到一个表示对映体纯度的百分比值。

生成所有晶体群和布拉维晶系

motivation

用唯一确定的符号和数值给出晶体群的结构。

晶体的有趣在于存在层级的分类，从7个晶体族，到14晶系，到32晶体空间点群，到230个晶体空间群$g$，每个群下还可选特定的Wyckoff Position$W$，选定后，还需要给出其中的自由度$X$，这些都确定之后，上面放置的元素也各不相同$A$。因此，$g, W, X, A$基本就足以描述了，当然，晶体晶格常数$L$也是需要specify的。

一个晶体只需要确定$g,W,X,A,L$即可。

solution

确定晶体群的数量

晶体满足的周期性边界条件和离散条件，使得晶体对应的群数量有限，共230个，更一般的，考虑到空间维度n和满足PBC的维度m，可以给出下表

组合生成

参考点群的解释，14个布拉维晶系 * 32个空间点群 可以生成448个晶体群，枚举即可。

32个空间点群如下：

依据 32种晶体点群对晶胞参数给出的限制，将晶体分为 7种晶系

每个晶系下，不同的平移对称性导致了（面心、体心、底心、简单）等结构，对应了14个布拉维系，其空间结构如图：

7个晶系、14个布拉维系、32个点群均在下图中表示了出来：

此问题可转化为如下定理的证明：

• 给定群$E(3)$的两个子群，空间点群$P\subset E(3)$和晶体空间群$B \subset E(3)$，证明存在群$H$，使得$P, B \subset H$，且$\text{card}(H)=230$

参考 晶体群定理证明可以给出。

表示和生成

上述内容说明，只需要确定Bravais系和空间群，我们就能唯一确定晶体空间群，国际晶体学会规定了一种表示方法，称为Hermann-Mauguin 符号，其基本组成：

1. 晶系：晶体可以被分为七个晶系，分别是三斜晶系、单斜晶系、正交晶系、四方晶系、三方晶系、六方晶系和立方晶系。每个晶系用一个字母表示："T"（三斜）、"M"（单斜）、"O"（正交）、"F"（四方）、"R"（三方）、"H"（六方）和"C"（立方）。

2. 晶格类型：晶格类型描述了晶体的三维空间中原子或分子的排列方式。常见的晶格类型有简单立方（P）、体心立方（I）、面心立方（F）等。

3. 对称操作：晶体的对称性可以通过旋转轴（n次轴，n=1,2,3,4,6）和镜面（m）来描述。例如，一个具有四次旋转对称轴的晶体会在符号中包含"4"。

4. 扩展符号：在一些情况下，为了更精确地描述晶体的对称性，Hermann-Mauguin符号还包括了扩展符号，如滑移面（g）、螺旋轴（s）和旋转反演轴（-1）。

5. 空间群：Hermann-Mauguin符号还可以进一步扩展为空间群符号，用于描述晶体的微观对称性。空间群由晶系、晶格类型和对称操作的组合构成，总共有230种可能的空间群。

参考 #4 ，我们就可以给出晶体结构的可视化。

晶体中的群及其计算

motivation

学习使用crystal server来处理各种与群结构相关的问题

solution

1.6.4.1 A: COMPARE TWO CRYSTAL-STRUCTURE DESCRIPTIONS

解：

打开晶体替换表示，输入如下数据

#Exercise 1.6.4.1A (CaWO4: origin 1)
# Space Group ITA number
88
# Lattice parameters
5.243 5.243 11.376 90 90 90
# Number of independent atoms in the asymmetric unit
3
# [atom type] [number] [WP] [x] [y] [z]
W 1 4a   0 0 0
Ca 1 4b   0 0 0.5
O  1 16f  0.2413 0.1511 0.0861

选择 从同一个元胞的orgin choice 1 to 2，

此处选取I还是F？I是体心，而F是面心，前者有2个，后者有4个，因此by convention，选择数量少的，否则文件中会标明。

给出的结果为

Final Setting: I41/a [origin 2] (No. 88)
88
5.2430 5.2430 11.3760 90.00 90.00 90.00
3
W	1	4a	0.000000	-0.250000	-0.125000
Ca	1	4b	0.000000	-0.250000	0.375000
O	1	16f	0.241300	-0.098900	-0.038900

对比给出的第二类：

#Exercise 1.6.4.1A(CaWO4: origin 2)
# Space Group ITA number
88
# Lattice parameters
5.243 5.243 11.376 90 90 90
# Number of independent atoms in the asymmetric unit
3
# [atom type] [number] [WP] [x] [y] [z]
W 1 4a   0 0.25 0.125
Ca 1 4b   0 0.25 0.625 
O  1 16f  0.1504 0.0085 0.2111

对比发现不同，因此认为不是同一类！

16.4.1.B: COMPARE TWO CRYSTAL-STRUCTURE DESCRIPTIONSAND CHECK IF THEY BELONG TO THE SAME STRUCTURE TYPE

TBC

1.6.4.2: How to find all possible equivalent descriptions of a crystal structure?

使用 EQUIVSTRU

输入数据

#Exercise 1.6.4.2a(CsCl)
# Space Group ITA number
221
# Lattice parameters
4.12599 4.12599 4.12599 90.0 90.0 90.0
# Number of independent atoms in the asymmetric unit
2
# [atom type] [number] [WP] [x] [y] [z]
Cl    1   1a    0.000000 0.000000 0.000000              
Cs    1   1b    0.500000 0.500000 0.500000

结果中的两个对应不同的原子排布：

1.6.4.3： Do these compounds belong to the same structure type ?

打开COMPSTRU

输入数据:

#Exercise 1.6.4.3 (Koch and Fischer):
#(i)KAsF6
148
7.3480 7.3480 7.2740 90.00 90.00 120.00
3
K     1   3b    0.333333 0.666666 0.166666                 
As    1   3a    0 0 0                                   
F     1   18f   0.1292 0.2165 0.1381  

#(ii)BaIrF6
148
7.3965 7.3965 7.2826 90.00 90.00 120.00
3
Ba    1   3b    0.333333 0.666666 0.166666                                 
Ir    1   3a    0 0 0                                   
F     1   18f   0.0729 0.2325 0.1640

输出：

这里匹配了原子的对应关系，考虑到它match了Wyckoff position，基本可以认为是对的。

Wyckoff position有很多种表示吗？（对同一个晶体的不同表示）

答：没有，给定$g$，给一个$X$，就能。

有可能不对应？或者说不确定？

可以自己重新给出。

给出的结果非常丰富，包括了各种difference，并且给出了最相似的unit cell的可视化对比：

类似的，另一个对比表明

只是做一个平移。

给定群之后，还有很多的晶胞可选？给定晶体，可以用多种群表示？

1.6.4.4： In ICSD can be found several structure data sets of ε-Fe2O3, all of them of symmetry Pna21(No.33). Compare the following two descriptions and check if they belong to the same structure type.

同上，此次给出的描述方式不同，所以输出：

可见只有一个平移变换即可。

晶体的有趣在于存在层级的分类，从7个晶体族，到14晶系，到32晶体空间点群，到230个晶体空间群$g$，每个群下还可选特定的Wyckoff Position$W$，选定后，还需要给出其中的自由度$X$，这些都确定之后，上面放置的元素也各不相同$A$。因此，$g, W, X, A$基本就足以描述了。

一个晶体只需要确定$g,W,X,A$即可。

$g$除了用群的编号，还可以使用HM符号，两者并非1-1对应，许多不同的HM符号对应了同一个$g$。

$$ p(C|g) = p(W,X,A|g) $$

通过比较相似度，我们可以划分多种

1.6.4.5(a): Lead phosphate phase transition

铅磷酸盐 Pb3(PO4)2 表现出从具有 R-3m 对称性（编号166）的顺弹性高温相到具有 C2/c 对称性（编号15）的铁弹性相的相变。

使用练习数据文件中给出的结构数据以及毕尔巴鄂晶体学服务器的工具：
（i）表征高对称相和低对称相之间的对称性降低（索引、最大子群图等）；
（ii）通过评估晶格应变和伴随相变的原子位移来描述从菱面体到单斜相的结构畸变。

解：

(i) 打开 STRUCTURE RELATIONS，输入数据。

给出的结果包含关于群的部分:classify conjugate subgroups

点击给出

可以绘制关系图：

1.6.4.5(b): Lead phosphate phase transition

同上，只是变成14.

铅磷酸盐 Pb3(PVO4)2 表现出从具有 R-3m 对称性（编号166）的顺弹性高温相到具有 P21/c 对称性（编号14）的铁弹性相的相变。
使用练习数据文件中给出的结构数据以及毕尔巴鄂晶体学服务器的工具：
（i）表征高对称相和低对称相之间的对称性降低（索引，最大子群图等）；
（ii）通过评估晶格应变和伴随相变的原子位移来描述从菱面体到单斜相的结构畸变。
铅磷酸盐/钒酸盐相变问题 1.6.4.6 (b)
提示：可能需要对两个相的晶格参数之间的差异设置更高的容差。

TBC.

1.6.4.8: Symmetry relations between crystal structures

"CsCl结构的同质异象"

展示钴铀（CoU）的晶体结构可以被解释为稍微畸变的CsCl（或β-黄铜，CuZn）型结构。使用练习数据文件中的结构数据，表征CoU结构与CsCl结构之间的结构关系。

使用 STRUCTURE RELATIONS

报错了，因为需要specify formula units per unit cell。

输入 1 和 8 之后，给出：

为什么输入这个？

这意味着我们没有修改元素，把第二个的Co->Cu, U->Zn之后，就好了。

1.6.5.9: Symmetry relations between crystal structures

(i) 当加热至超过573摄氏度时，低温石英（LT-quartz）转变为其高温形态（HT-quartz）。建立相应的贝尔尼豪森树（Baernighausen tree），描述两种石英形态之间的对称关系。在较低对称性形态中存在哪些额外的自由度？（可以在练习数据文件中找到HT-quartz和LT-quartz的晶体结构。）

(ii) 考虑练习数据文件中列出的AlPO4的结构数据。描述其与石英的结构关系，并构建相应的贝尔尼豪森树。
高温石英（HT-quartz）和低温石英（LT-quartz）

提示：为了找到石英和AlPO4之间的结构关系，考虑将硅（Si）的位置分裂成两个：一个用于铝（Al），一个用于磷（P）。

TBC.

1.6.4.10: Analyse the structural pseudosymmetry of Pb2MgWO6

对一个$G$群的结构做微扰，可能会使其对称性增加，即获得$S$，使得$G\subset S$，这种扰动后得到的称为“赝自由度”，并非真实存在，但可能获得。

自然偏爱高对称性的物体？

按照这样的链条往上走$G \subset S \subset S_1 \subset ... \subset S_N$，存在一个最高的。

这230个群的family tree长啥样，自然界中，这些群的分布如何？这些都是很有趣的问题。

有一些简单的特点：F > I > P。

过程：

打开 PSEUDO，输入数据：

#Exercise 1.6.4.10:Pb2MgWO6:Pseudo1
# Space Group ITA number
62
# Lattice parameters
11.4059 7.9440 5.6866 90.00 90.00 90.00
# Number of independent atoms in the asymmetric unit
8
# [atom type] [number] [WP] [x] [y] [z]
Pb    1   8d    0.1422 0.0032 0.7804                    
Mg    1   4c    0.3772 0.25 0.7519                      
W     1   4c    0.1161 0.25 0.2577                      
O     1   8d    0.1314 0.4907 0.2365                    
O     2   4c    0.0027 0.25 0.0133                      
O     3   4c    0.0103 0.25 0.4991                      
O     4   4c    0.237 0.25 -0.0153                      
O     5   4c    0.2491 0.25 0.4745    

点击最下方的show，给出：

接下来，可以可视化，探索这些结构是如何变化过来的，还可以继续“攀爬”。

在每次结束后可以点击 plot the process so far，给出攀爬的过程：

每一个过程都给出了变换$(P,p)$和偏差。

1.6.4.13: Search for ferroelectrics

化合物NaSb3F10在室温下呈现极性相，其空间群为P63，据预测是铁电性的。（有关结构数据，请参见结构数据文件。）已经为高温下的两个连续的非极性相提出了P6322和P63/mmc的对称性。
应用伪对称性方法来确认NaSb3F10非极性相的预测。展示除了P6322之外，还有两个更合适的候选空间群，它们是极性相P63和最大对称性非极性相P63/mmc之间的中间相。

输入数据：

##Exercise 1.6.4.13: ferroelectric_NaSb3F10:Pseudo4
# Space Group ITA number
173
# Lattice parameters
8.285 8.285 7.600 90. 90. 120.
# Number of independent atoms in the asymmetric unit
6
# [atom type] [number] [WP] [x] [y] [z]
Sb    1   6c    0.883700 0.224300 0.250000              
Na    1   2b    0.333300 0.666700 0.167000              
F     1   6c    0.204000 0.393000 0.994000              
F     2   6c    0.111000 0.229000 0.340000              
F     3   6c    0.035000 0.491000 0.281000              
F     4   2b    0.666700 0.333300 0.245000

给出：

这里有上面提到的182和186，此外 还有$P6_3/m$，我们继续寻找位于$P6_3$和$P6_3mmc$之间的那个，从这里向上。

继续搜索这个结构，得到了我们想要的：