soupersoul/qtt

Quantic Tensor Train Decomposition Toolbox

QTT-Toolbox Version 1.0

更新记录：

2016.04.25：

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1. 添加QTT数组类：qttarray

2. 仅依赖layer_tensor类，与QTT文件夹的函数相互独立. 由于时间关系，作者短时间内可能不会 花大精力维护该文件夹，因为其虽然使用起来很方面，但太高级，不太适合大家自定义。

3. 已重载

• +： c+c,c+2,2+c
• *： 数乘和张量乘法
• -: 减法
• .*： 点乘
• full： 还原成数组
• qtt2tt：转化成tt-toolbox中的类

2016.04.21：

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1. 优化了部分函数的逻辑和性能，如layer_tensor, lktimes

2. 完善了toeplitz_qtt函数

3. 分治策略的lqtt函数暂时撤下了，细节部分还待完善.

4. 新增函数imagesc_qtt :QTT分解在各个尺度下的能量谱

2016.04.05 ：

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1. 大更新，修复了一些小bug，增加了很多QTT函数.

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QTT分解介绍

QTT（Quantics Tensor Train）分解是一种适用于任意分层张量(包含多维数组)的张量分解方法, 通过对数组的反复折叠该分解可以达到降维和特征提取的作用。QTT已被证明是一种基于流形学习的降维工具和多尺度的特征提取工具。

**定义：**给定一个分层张量(包含向量、矩阵等多维数组)A，如果其有如下表示，


其中后面d-1个QTT核满足右正交条件, 则称之为A的QTT分解。

工具箱介绍

这是一个用MATLAB语言写的QTT-Toolbox，免费提供大家使用,使用后请注明引用,谢谢。工具箱将分层张量新定义成了一个类，分层张量之间的大部分运算都已实现。通过这个模块化编程，我们能更加简单的扩展编程。如果读者发现函数有bug或者实现算法能加速，请邮件告之作者，谢谢。

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JSong,20-Jul-2015

Last Revision: 11-Aug-2015.

Github:http://github.com/gasongjian/QTT/

citition: 基于量子化张量列(QTT)模型的特征提取

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1. 自定义类 layer_tensor(分层张量) 不同于TT-Toolbox, QTT-Toolbox中每一个QTT核以分层张量的形式存储, QTT分解相当于将以一个多维数组分解成多个分层张量的某种乘积。

目前分层张量已经实现如下功能：l打头的代表外层用矩阵乘法,lk打头代表外层用kronecker乘积，u打头代表算子作用于子张量。

• 初始化

   A=rand(2,3,4,5);%一个大小为2*5，子模数为3*4的分层张量                           
   lt=layer_tensor(A); % 或者
   lt=layer_tensor(A(:),[2;5],[3;4]); %给定大小和子模数
   % 方法二：
   A=cell(2,5);
   for i=1:2
       for j=1:5
           A{i,j}=zeros(3,4);
       end
   end
   lt=layer_tensor(A);

• 元素引用和赋值 用圆括号引用子张量, 用大括号引用元素矩阵(见论文).

   r=lt.size; %分层张量的大小
   subsize=lt.subsize; %分层张量的子模数
   A=lt(1,2);
   A=lt(1:2,5);
   A=lt{3,4};
   lt(1,1)=A;

• 分层kronecker乘积

  为加快速度，本工具箱将该运算转化成了矩阵乘法，再经过一定的置换得到新的分层张量，具体可参见论文。

   lt=lkron(lt1,lt2);
   % lt(1,1)=\sum kron(lt1(1,i),lt2(i,1))

• 分层外积

  为加快速度，该运算的实现利用了矩阵乘法和一定的置换, 具体可参见论文。

   louter(lt1,lt2);

• 广义张量积

  利用该运算，可以简单实现两个QTT格式下的矩阵之间的乘法。

   lktimes(lt1,lt2,types);
   % 可验证下面两个表达式相等
   L1=lktimes(lkron(lt1,lt2),lkron(lt3,lt4),types);
   L2=lkron(lktimes(lt1,lt3,types),lktimes(lt2,lt4,types));
   isequal(L1,L2)

• 其他

  • double：转换成多维数组, 如果大小为1, 则转化为子张量
  • size： 默认返回分层张量的大小,如上例中的[2;5]
  • ctranspose: 外转置, lt1=lt'; 则lt1大小为534*2；
  • utranspose： 内转置, 如果子张量是矩阵，则转置所有子张量
  • udiag： 内对角化, 子张量是向量或者矩阵
  • lt2cell： 将分层张量转化为2*5的cell, 每一个cell内都是一个子张量
  • ltfun ： 类似于cellfun,非常实用的函数。 矩阵情形中ltfun(lt,@(x)x',[4;3])等价于utranspose
  • minus,plus： 加法和减法
  • ltqr： 分层张量的QR分解，[ltr,ltq]=ltqr(lt);使得ltq是一个右正交的分层张量.
  • ltextend:适用于分层张量的延拓函数

============================================= 2.QTT分解

张量的基本运算（见文件夹Tensor）：

• nkron: 张量的Kronecker乘法，要求两个张量的维数相同
• outer：张量的外积
• gtimes:张量的广义乘法

QTT分解函数： >* lqtt： 适用于任意分层张量的QTT分解，同时也支持多维数组.采用方法：分治策略

QTT 还原函数：

• full_qtt:将一组QTT核还原成一个分层张量，配合double可以还原成多维数组.

QTT round 函数：

• round_qtt:将一组不满足右正交化得QTT核 右正交化，且使得QTT秩变小.

QTT 相关运算函数：

• plus_qtt:两组QTT核的加法.
• gtimes_qtt:两组QTT核的广义乘法
• hadamard_qtt:两组QTT核的点乘

工具箱转化函数：

TT-Toolbox 的两个类终于可以相互转化成本工具箱的QTT啦

• qtt2tt:
• tt2qtt:

其他函数：

• info_qtt:获取QTT分解的相关信息，如QTT秩，等效秩erank，元素个数等.
• split_qtt:获取QTT分解的QTT分量
• rand_qtt: 根据给定的子模数subsizes和QTT秩，生成一组随机的QTT核
• toeplitz_qtt:生成QTT格式的Toeplitz矩阵
• hankel_qtt :生成QTT格式的Hankel张量
• imagesc_qtt : QTT分解在各个尺度下的能量谱

使用方法：

   x=rand(6^5,1);y=2*x+rand(6^5,1)*0.1;
   A={x;y};
   A=layer_tensor(A);
   ltcore=lqtt(A,ones(5,1)*6,1e-4);

   A1=full_qtt(ltcore);
   X=ltsplit(clkron(ltcore(1:3)),clkron(ltcore(4:5)),'kron');