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数据结构与算法之美
最后我们再讲几个个复杂度分析方面的知识点:
话不多说,先看代码:
function find(array, x) {
let pos = -1;
for(let i = 0, len = array.length; i < len; i++) {
if(array[i] === x) {
pos = i;
}
}
return pos;
}
相信大家都可以看出来,该函数的功能是在一组无序数组中查找元素 x,如果存在,就返回下标,否则返回 -1。按照之前的方法分析,这段代码的时间复杂度为 O(n),其中,n 代表数组的长度。
我们在数组中查找数据,并不需要每次都把数组全部遍历一遍,因为中途就找到目标元素的话就可以提前终止循环了。下面我们再优化一下代码:
function find(array, x) {
let pos = -1;
for(let i = 0, len = array.length; i < len; i++) {
if(array[i] === x) {
pos = i;
break;
}
}
return pos;
}
问题来了,我们优化之后的 find
函数的时间复杂度还是 O(n) 吗?很显然不是了,如果我们要查找到元素位于数组的第一个,那么它的时间复杂度就是 O(1),如果位于末尾,那么时间复杂度就是 O(n)。所以,在不同情况下,这段代码的时间复杂度是不一样的。
为了表示代码在不同情况下的不同时间复杂度,我们需要引入三个概念:最好情况时间复杂度、最坏情况时间复杂度、平均情况时间复杂度。
顾名思义,最好情况时间复杂度,就是在最理想的情况下,执行这段代码的时间复杂度。在上述代码中,最理想的情况就是我们要查找的元素 x 正好位于数组的第一位,这时对应的时间复杂度就是最好情况时间复杂度。
同理,最坏情况时间复杂度,就是在最差的情况下,执行这段代码的时间复杂度。还是拿上述例子来说,如果元素 x 不在数组中,我们需要把整个数组都遍历一遍才行,这是对象的时间复杂度就是最坏情况时间复杂度。
我们都知道,最好最坏情况时间复杂度都是在极端情况下的时间复杂度,发生的概率其实都不大,为了更准确的表示时间复杂度,我们需要引入第三个概念:平均情况时间复杂度。
还是借助上面的例子,要查找的变量 x 在长度为 n 的数组中的位置,有 n + 1
中情况:在数组 0 ~ n - 1 位置中
和不在数组中
。我们把每种情况下,需要查找遍历的元素个数累加起来(等差数列求和
),再除以 n + 1
,就可以得到需要遍历元素个数的平均值,即:
时间复杂度的大 O 表示法中,可以省略掉系数、低阶、常量。所以,该公式简化之后,可以得到平均情况时间复杂度 O(n)。
复杂度量级,可以粗略的分为两类:多项式量级和非多式量级。其中,非多项式量级只有两个:$O(2^{n})$ 和
当数据规模 n 越来越大时,非多项式量级算法的执行时间会急剧增加,求解问题的时间会无限增长。所以,非多项式量级算法是非常低效的,这里我们就不多陈述了。我们主要看下几种常见的多项式量级的时间复杂度。
O(1) 只是一种常见的常量时间复杂度,并不是说只执行了一行代码。比如这段代码,即便有 3 行,它的时间复杂度也是 O(1),而不是 O(3)。
let i = 0;
let j = 0;
let sum = i + j;
总结来说,只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长,这样的代码的时间复杂度我们都计作 O(1),或者说,
一般情况下,只要算法中不存在循环语句、递归语句,即便有成千上万行代码,其时间复杂度也是 O(1)。
对数阶算法复杂度很常见,同时它也是最难分析的一种时间复杂度。举个例子说明一下。
let i = 1;
while(i <= n) {
i = i * 2;
}
根据前面的时间复杂度分析方法,第三行代码是循环次数最多的。所以,我们只要计算出这行代码被执行了多少次,就能知道整段代码的时间复杂度。
从代码中可以看出,变量 i 的值从 1 开始取,每循环一次就乘以 2。当大于 n 时,循环结束。还记得我们高中学过的等比数列吗?实际上,变量 i 的取值就是一个等比数列。如果我把它一个一个列出来,就应该是这个样子的:
所以,我们只要知道 x 值是多少,就知道这行代码执行的次数了。通过
再稍微修改下代码。
let i = 1;
while(i <= n) {
i = i * 3;
}
根据之前的思路,我们很简单就可以推算出来,这段代码的时间复杂度为
实际上,不管是以 2 为底、以 3 为底,还是以 10 为底,我们可以把所有的对数时间复杂度都计为
我们知道,对数之间是可以互相转换的,$log_3 n = log_3 2 * log_2 n$,所以
说到这里,那
我们再来讲一种跟前面都不一样的时间复杂度,代码的复杂度由两个数据的规模来决定。老规矩,先看代码!
function cal(m, n) {
let sum1 = 0;
let sum2 = 0;
for(let i = 1; i <= m; i++) {
sum1 += 1;
}
for(let i = 1; i <= n; i++) {
sum2 += 1;
}
return sum1 + sum2;
}
从代码中可以看出,m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大,所以我们在表示复杂度的时候,就不能简单地利用加法法则,省略掉其中一个。所以,上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。
针对这种情况,原来的加法法则就不正确了,我们需要将加法规则改为:T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效:T1(m)*T2(n) = O(f(m) * f(n))。
我们再来回顾一下,时间复杂度的全程为渐进时间复杂度,表示算法执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下,空间复杂度全程就是渐进空间复杂度,表示算法存储空间与数据规模之间的增长关系。
function print(n) {
let a = [];
for(let i = 0; i < n; i++) {
a[i] = i * i;
}
for(let i = n - 1; i >=0; i--) {
console.log(a[i]);
}
}
在上述代码中,我们申请了一个空间存储变量 i,但是它是常量阶的,跟数据规模 n 没有关系,所以忽略。之后又申请了一个大小为 n 的数组,除此之外,剩下的代码没有占用更多的存储空间。所以,这段代码的空间复杂度就是
我们常见的空间复杂度就是
复杂度也叫渐进复杂度,包括时间复杂度和空间复杂度,用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系,可以粗略地表示,越高阶复杂度的算法,执行效率越低。常见的复杂度并不多,从低阶到高阶有:$O(1)$、$O(logn)$、$O(n)$、$O(nlogn)$、$O(n^{2})$。
浏览器的前进、后退功能,我想你肯定很熟悉吧?
当你依次访问完一串页面 a-b-c 之后,点击浏览器的后退按钮,就可以查看之前浏览过的页面 b 和 a。当你后退到页面 a,点击前进按钮,就可以重新查看页面 b 和 c。但是,如果你后退到页面 b 后,点击了新的页面 d,那就无法再通过前进、后退功能查看页面 c 了。
假设你是 Chrome 浏览器的开发工程师,你会如何实现这个功能呢?
这就要用到我们今天要讲的“栈”这种数据结构。带着这个问题,我们来学习今天的内容。
关于“栈”,我有一个非常贴切的例子,就是一摞叠在一起的盘子。我们平时放盘子的时候,都是从下往上一个一个放;取的时候,我们也是从上往下一个一个地依次取,不能从中间任意抽出。后进者先出,先进者后出,这就是典型的“栈”结构。
从栈的操作特性上来看,栈是一种“操作受限”的线性表,只允许在一端插入和删除数据。
我第一次接触这种数据结构的时候,就对它存在的意义产生了很大的疑惑。因为我觉得,相比数组和链表,栈带给我的只有限制,并没有任何优势。那我直接使用数组或者链表不就好了吗?为什么还要用这个“操作受限”的“栈”呢?
事实上,从功能上来说,数组或链表确实可以替代栈,但你要知道,特定的数据结构是对特定场景的抽象,而且,数组或链表暴露了太多的操作接口,操作上的确灵活自由,但使用时就比较不可控,自然也就更容易出错。
当某个数据集合只涉及在一端插入和删除数据,并且满足后进先出、先进后出的特性,我们就应该首选“栈”这种数据结构
好了,我想现在你已经完全理解了栈的概念。我们再回来看看开篇的思考题,如何实现浏览器的前进、后退功能?其实,用两个栈就可以非常完美地解决这个问题。
我们使用两个栈,X 和 Y,我们把首次浏览的页面依次压入栈 X,当点击后退按钮时,再依次从栈 X 中出栈,并将出栈的数据依次放入栈 Y。当我们点击前进按钮时,我们依次从栈 Y 中取出数据,放入栈 X 中。当栈 X 中没有数据时,那就说明没有页面可以继续后退浏览了。当栈 Y 中没有数据,那就说明没有页面可以点击前进按钮浏览了。
比如你顺序查看了 a,b,c 三个页面,我们就依次把 a,b,c 压入栈,这个时候,两个栈的数据就是这个样子:
当你通过浏览器的后退按钮,从页面 c 后退到页面 a 之后,我们就依次把 c 和 b 从栈 X 中弹出,并且依次放入到栈 Y。这个时候,两个栈的数据就是这个样子:
这个时候你又想看页面 b,于是你又点击前进按钮回到 b 页面,我们就把 b 再从栈 Y 中出栈,放入栈 X 中。此时两个栈的数据是这个样子:
这个时候,你通过页面 b 又跳转到新的页面 d 了,页面 c 就无法再通过前进、后退按钮重复查看了,所以需要清空栈 Y。此时两个栈的数据这个样子:
在每一种编程语言中,基本都会有数组这种数据类型。不过,它不仅仅是一种编程语言中的数据类型,还是一种最基础的数据结构。尽管数组看起来非常基础、简单,但是我估计很多人都并没有理解这个基础数据结构的精髓。
在大部分编程语言中,数组都是从 0 开始编号的,但你是否下意识地想过,为什么数组要从 0 开始编号,而不是从 1 开始呢? 从 1 开始不是更符合人类的思维习惯吗?
什么是数组?我们用专业的术语来做下解析。
数组(Array)是一种线性表数据结构。它是一组连续的内存空间,来存储一组具有相同类型的数据。
这里我们来分析几个关键词。
第一,线性表(Linear List)。顾名思义,线性表就是数据排成像一条线一样的结构。每个线性表上的数据最多只有前和后两个方向。其实除了数组,链表、队列、栈等也是线性表结构。
而与它相对立是的非线性表,比如二叉树、堆、图等。之所以叫非线性,是因为,在非线性表中,数据之间并不是简单的前后关系。
第二个是连续的空间和相同的数据类型。正是因为这两个限制,它才有了一个堪称“杀手锏”的特性:“随机访问”。但有利就有弊,这两个限制也让数组的很多操作变得非常低效,比如要想在数组中删除、插入一个数据,为了保证连续性,就需要做大量的数据搬移工作。
说到数据的访问,那你知道数组是如何实现根据下标随机访问数组元素的吗?
我们拿一个长度为 10 的 int 类型的数组 int[] a = new int[10] 来举例。在我画的这个图中,计算机给数组 a[10],分配了一块连续内存空间 1000~1039,其中,内存块的首地址为 base_address = 1000。
我们知道,计算机会给每个内存单元分配一个地址,计算机通过地址来访问内存中的数据。当计算机需要随机访问数组中的某个元素时,它会首先通过下面的寻址公式,计算出该元素存储的内存地址:
a[i]_address = base_address + i * data_type_size
其中 data_type_size 表示数组中每个元素的大小。我们举的这个例子里,数组中存储的是 int 类型数据,所以 data_type_size 就为 4 个字节。
我们在面试的时候,常常会被问数组和链表的区别,很多人都回答说,“链表适合插入、删除,时间复杂度 O(1);数组适合查找,查找时间复杂度为 O(1)”。
实际上,这种表述是不准确的。数组是适合查找操作,但是查找的时间复杂度并不为 O(1)。即便是排好序的数组,你用二分查找,时间复杂度也是 O(logn)。所以,正确的表述应该是,数组支持随机访问,根据下标随机访问的时间复杂度为 O(1)。
假设数组的长度为 n,现在,如果我们需要将一个数据插入到数组中的第 k 个位置。为了把第 k 个位置腾出来,给新来的数据,我们需要将第 k~n 这部分的元素都顺序地往后挪一位。那插入操作的时间复杂度是多少呢?你可以自己先试着分析一下。
如果在数组的末尾插入元素,那就不需要移动数据了,这时的时间复杂度为 O(1)。但如果在数组的开头插入元素,那所有的数据都需要依次往后移动一位,所以最坏时间复杂度是 O(n)。 因为我们在每个位置插入元素的概率是一样的,所以平均情况时间复杂度为 (1+2+…n)/n=O(n)。
如果数组中的数据是有序的,我们在某个位置插入一个新的元素时,就必须按照刚才的方法搬移 k 之后的数据。但是,如果数组中存储的数据并没有任何规律,数组只是被当作一个存储数据的集合。在这种情况下,如果要将某个数组插入到第 k 个位置,为了避免大规模的数据搬移,我们还有一个简单的办法就是,直接将第 k 位的数据搬移到数组元素的最后,把新的元素直接放入第 k 个位置。
为了更好地理解,我们举一个例子。假设数组 a[10] 中存储了如下 5 个元素:a,b,c,d,e。
我们现在需要将元素 x 插入到第 3 个位置。我们只需要将 c 放入到 a[5],将 a[2] 赋值为 x 即可。最后,数组中的元素如下: a,b,x,d,e,c。
利用这种处理技巧,在特定场景下,在第 k 个位置插入一个元素的时间复杂度就会降为 O(1)。这个处理**在快排中也会用到,后续会在排序中说到。
我们再来看删除操作。
跟插入数据类似,如果我们要删除第 k 个位置的数据,为了内存的连续性,也需要搬移数据,不然中间就会出现空洞,内存就不连续了。
和插入类似,如果删除数组末尾的数据,则最好情况时间复杂度为 O(1);如果删除开头的数据,则最坏情况时间复杂度为 O(n);平均情况时间复杂度也为 O(n)。
实际上,在某些特殊场景下,我们并不一定非得追求数组中数据的连续性。如果我们将多次删除操作集中在一起执行,删除的效率是不是会提高很多呢?
我们继续来看例子。数组 a[10] 中存储了 8 个元素:a,b,c,d,e,f,g,h。现在,我们要依次删除 a,b,c 三个元素。
为了避免 d,e,f,g,h 这几个数据会被搬移三次,我们可以先记录下已经删除的数据。每次的删除操作并不是真正地搬移数据,只是记录数据已经被删除。当数组没有更多空间存储数据时,我们再触发执行一次真正的删除操作,这样就大大减少了删除操作导致的数据搬移。
如果你了解 JVM,你会发现,这不就是 JVM 标记清除垃圾回收算法的核心**吗?没错,数据结构和算法的魅力就在于此,很多时候我们并不是要去死记硬背某个数据结构或者算法,而是要学习它背后的**和处理技巧,这些东西才是最有价值的。如果你细心留意,不管是在软件开发还是架构设计中,总能找到某些算法和数据结构的影子。
现在我们来思考开篇的问题:为什么大多数编程语言中,数组要从 0 开始编号,而不是从 1 开始呢?
从数组存储的内存模型上来看,“下标”最确切的定义应该是“偏移(offset)”。前面也讲到,如果用 a 来表示数组的首地址,a[0] 就是偏移为 0 的位置,也就是首地址,a[k] 就表示偏移 k 个 type_size 的位置,所以计算 a[k] 的内存地址只需要用这个公式:
a[k]_address = base_address + k * type_size
但是,如果数组从 1 开始计数,那我们计算数组元素 a[k] 的内存地址就会变为:
a[k]_address = base_address + (k-1) * type_size
对比两个公式,我们不难发现,从 1 开始编号,每次随机访问数组元素都多了一次减法运算,对于 CPU 来说,就是多了一次减法指令。
数组作为非常基础的数据结构,通过下标随机访问数组元素又是其非常基础的编程操作,效率的优化就要尽可能做到极致。所以为了减少一次减法操作,数组选择了从 0 开始编号,而不是从 1 开始。
不过我认为,上面解释得再多其实都算不上压倒性的证明,说数组起始编号非 0 开始不可。所以我觉得最主要的原因可能是历史原因。
C 语言设计者用 0 开始计数数组下标,之后的 Java、JavaScript 等高级语言都效仿了 C 语言,或者说,为了在一定程度上减少 C 语言程序员学习 Java 的学习成本,因此继续沿用了从 0 开始计数的习惯。实际上,很多语言中数组也并不是从 0 开始计数的,比如 Matlab。甚至还有一些语言支持负数下标,比如 Python。
我们今天学习了数组。它可以说是最基础、最简单的数据结构了。数组用一块连续的内存空间,来存储相同类型的一组数据,最大的特点就是支持随机访问,但插入、删除操作也因此变得比较低效,平均情况时间复杂度为 O(n)。
我们从冒泡排序开始,学习今天的三种排序算法。
冒泡排序只会操作相邻的两个数据。每次冒泡操作都会对相邻的两个元素进行比较,看是否满足大小关系要求。如果不满足就让它俩互换。一次冒泡会让至少一个元素移动到它应该在的位置,重复 n 次,就完成了 n 个数据的排序工作。
我用一个例子,带你看下冒泡排序的整个过程。我们要对一组数据 4,5,6,3,2,1,从小到到大进行排序。第一次冒泡操作的详细过程就是这样:
可以看出,经过一次冒泡操作之后,6 这个元素已经存储在正确的位置上。要想完成所有数据的排序,我们只要进行 6 次这样的冒泡操作就行了。
实际上,刚讲的冒泡过程还可以优化。当某次冒泡操作已经没有数据交换时,说明已经达到完全有序,不用再继续执行后续的冒泡操作。我这里还有另外一个例子,这里面给 6 个元素排序,只需要 4 次冒泡操作就可以了。
冒泡排序算法的原理比较容易理解,具体的代码我贴到下面,你可以结合着代码来看我前面讲的原理。
/**
* 冒泡排序
*/
const bubbleSort = (arr) => {
if(arr.length <= 1) return;
const len = arr.length;
for(let i = 0; i < len; i++) {
let hasChange = false;
for(let j = 0; j < len - i - 1; j++) {
if(arr[j] > arr[j + 1]) {
const temp = arr[j + 1];
arr[j + 1] = arr[j];
arr[j] = temp;
hasChange = true;
}
}
if(!hasChange) break;
}
console.log(arr);
}
现在,结合刚才我分析排序算法的三个方面,我有三个问题要问你。
冒泡的过程只涉及相邻数据的交换操作,只需要常量级的临时空间,所以它的空间复杂度为 O(1),是一个原地排序算法。
在冒泡排序中,只有交换才可以改变两个元素的前后顺序。为了保证冒泡排序算法的稳定性,当有相邻的两个元素大小相等的时候,我们不做交换,相同大小的数据在排序前后不会改变顺序,所以冒泡排序是稳定的排序算法。
最好情况下,要排序的数据已经是有序的了,我们只需要进行一次冒泡操作,就可以结束了,所以最好情况时间复杂度是 O(n)。而最坏的情况是,要排序的数据刚好是倒序排列的,我们需要进行 n 次冒泡操作,所以最坏情况时间复杂度为
最好、最坏情况下的时间复杂度很容易分析,那平均情况下的时间复杂是多少呢?我们前面讲过,平均时间复杂度就是加权平均期望时间复杂度,分析的时候要结合概率论的知识。
对于包含 n 个数据的数组,这 n 个数据就有 n! 种排列方式。不同的排列方式,冒泡排序执行的时间肯定是不同的。比如我们前面举的那两个例子,其中一个要进行 6 次冒泡,而另一个只需要 4 次。如果用概率论方法定量分析平均时间复杂度,涉及的数学推理和计算就会很复杂。我这里还有一种思路,通过“有序度”和“逆序度”这两个概念来进行分析。
有序度是数组中具有有序关系的元素对的个数。有序元素对用数学表达式表示就是这样:
有序元素对:a[i] <= a[j], 如果 i < j。
同理,对于一个倒序排列的数组,比如 6,5,4,3,2,1,有序度是 0;对于一个完全有序的数组,比如 1,2,3,4,5,6,有序度就是n*(n-1)/2
,也就是 15。我们把这种完全有序的数组的有序度叫作满有序度。
逆序度的定义正好跟有序度相反(默认从小到大为有序),我想你应该已经想到了。关于逆序度,我就不举例子讲了。你可以对照我讲的有序度的例子自己看下。
逆序元素对:a[i] > a[j], 如果 i < j。
关于这三个概念,我们还可以得到一个公式:逆序度 = 满有序度 - 有序度
。我们排序的过程就是一种增加有序度,减少逆序度的过程,最后达到满有序度,就说明排序完成了。
我还是拿前面举的那个冒泡排序的例子来说明。要排序的数组的初始状态是 4,5,6,3,2,1 ,其中,有序元素对有 (4,5) (4,6)(5,6),所以有序度是 3。n=6,所以排序完成之后终态的满有序度为 n*(n-1)/2=15。
冒泡排序包含两个操作原子,比较和交换。每交换一次,有序度就加 1。不管算法怎么改进,交换次数总是确定的,即为逆序度,也就是n*(n-1)/2–初始有序度
。此例中就是 15–3=12,要进行 12 次交换操作。
对于包含 n 个数据的数组进行冒泡排序,平均交换次数是多少呢?最坏情况下,初始状态的有序度是 0,所以要进行 n*(n-1)/2 次交换。最好情况下,初始状态的有序度是 n*(n-1)/2,就不需要进行交换。我们可以取个中间值 n*(n-1)/4,来表示初始有序度既不是很高也不是很低的平均情况。
换句话说,平均情况下,需要 n*(n-1)/4 次交换操作,比较操作肯定要比交换操作多,而复杂度的上限是
这个平均时间复杂度推导过程其实并不严格,但是很多时候很实用,毕竟概率论的定量分析太复杂,不太好用。
我们先来看一个问题。一个有序的数组,我们往里面添加一个新的数据后,如何继续保持数据有序呢?很简单,我们只要遍历数组,找到数据应该插入的位置将其插入即可。
这是一个动态排序的过程,即动态地往有序集合中添加数据,我们可以通过这种方法保持集合中的数据一直有序。而对于一组静态数据,我们也可以借鉴上面讲的插入方法,来进行排序,于是就有了插入排序算法。
那插入排序具体是如何借助上面的**来实现排序的呢?
首先,我们将数组中的数据分为两个区间,已排序区间和未排序区间。初始已排序区间只有一个元素,就是数组的第一个元素。插入算法的核心**是取未排序区间中的元素,在已排序区间中找到合适的插入位置将其插入,并保证已排序区间数据一直有序。重复这个过程,直到未排序区间中元素为空,算法结束。
如图所示,要排序的数据是 4,5,6,1,3,2,其中左侧为已排序区间,右侧是未排序区间。
插入排序也包含两种操作,一种是元素的比较,一种是元素的移动。当我们需要将一个数据 a 插入到已排序区间时,需要拿 a 与已排序区间的元素依次比较大小,找到合适的插入位置。找到插入点之后,我们还需要将插入点之后的元素顺序往后移动一位,这样才能腾出位置给元素 a 插入。
对于不同的查找插入点方法(从头到尾、从尾到头),元素的比较次数是有区别的。但对于一个给定的初始序列,移动操作的次数总是固定的,就等于逆序度。
为什么说移动次数就等于逆序度呢?我拿刚才的例子画了一个图表,你一看就明白了。满有序度是 n*(n-1)/2=15,初始序列的有序度是 5,所以逆序度是 10。插入排序中,数据移动的个数总和也等于 10=3+3+4。
插入排序的原理也很简单吧?我也将代码实现贴在这里,你可以结合着代码再看下。
/**
* 插入排序
*/
const insertionSort = (arr) => {
if(arr.length <= 1) return;
const len = arr.length;
for(let i = 1; i < len; i++) {
const temp = arr[i];
let j = i - 1;
for(; j >= 0; j--) {
if(arr[j] > temp) {
arr[j + 1] = arr[j];
}else{
break;
}
}
arr[j + 1] = temp;
}
console.log(arr);
}
现在,我们来看点稍微复杂的东西。我这里还是有三个问题要问你。
从实现过程可以很明显地看出,插入排序算法的运行并不需要额外的存储空间,所以空间复杂度是 O(1),也就是说,这是一个原地排序算法。
在插入排序中,对于值相同的元素,我们可以选择将后面出现的元素,插入到前面出现元素的后面,这样就可以保持原有的前后顺序不变,所以插入排序是稳定的排序算法。
如果要排序的数据已经是有序的,我们并不需要搬移任何数据。如果我们从尾到头在有序数据组里面查找插入位置,每次只需要比较一个数据就能确定插入的位置。所以这种情况下,最好是时间复杂度为 O(n)。注意,这里是从尾到头遍历已经有序的数据。
如果数组是倒序的,每次插入都相当于在数组的第一个位置插入新的数据,所以需要移动大量的数据,所以最坏情况时间复杂度为
还记得我们在数组中插入一个数据的平均时间复杂度是多少吗?没错,是 O(n)。所以,对于插入排序来说,每次插入操作都相当于在数组中插入一个数据,循环执行 n 次插入操作,所以平均时间复杂度为
选择排序算法的实现思路有点类似插入排序,也分已排序区间和未排序区间。但是选择排序每次会从未排序区间中找到最小的元素,将其放到已排序区间的末尾。
代码如下:
/**
* 选择排序
*/
const selectionSort = (arr) => {
if(arr.length <= 1) return;
const len = arr.length;
for(let i = 0; i < len - 1; i++) {
let minIndex = i;
for(let j = i + 1; j < len; j++) {
if(arr[j] < arr[minIndex]) {
minIndex = j;
}
}
const temp = arr[i];
arr[i] = arr[minIndex];
arr[minIndex] = temp;
}
console.log(arr);
}
照例,也有三个问题需要你思考,不过前面两种排序算法我已经分析得很详细了,这里就直接公布答案了。
首先,选择排序空间复杂度为 O(1),是一种原地排序算法。选择排序的最好情况时间复杂度、最坏情况和平均情况时间复杂度都为
那选择排序是稳定的排序算法吗?这个问题我着重来说一下。
答案是否定的,选择排序是一种不稳定的排序算法。从我前面画的那张图中,你可以看出来,选择排序每次都要找剩余未排序元素中的最小值,并和前面的元素交换位置,这样破坏了稳定性。
比如 5,8,5,2,9 这样一组数据,使用选择排序算法来排序的话,第一次找到最小元素 2,与第一个 5 交换位置,那第一个 5 和中间的 5 顺序就变了,所以就不稳定了。正是因此,相对于冒泡排序和插入排序,选择排序就稍微逊色了。
基本的知识都讲完了,我们来看开篇的问题:冒泡排序和插入排序的时间复杂度都是
我们前面分析冒泡排序和插入排序的时候讲到,冒泡排序不管怎么优化,元素交换的次数是一个固定值,是原始数据的逆序度。插入排序是同样的,不管怎么优化,元素移动的次数也等于原始数据的逆序度。
但是,从代码实现上来看,冒泡排序的数据交换要比插入排序的数据移动要复杂,冒泡排序需要 3 个赋值操作,而插入排序只需要 1 个。我们来看这段操作:
// 冒泡排序中数据的交换操作:
if(arr[j] > arr[j + 1]) {
const temp = arr[j + 1];
arr[j + 1] = arr[j];
arr[j] = temp;
hasChange = true;
}
// 插入排序中数据的移动操作:
if(arr[j] > temp) {
arr[j + 1] = arr[j];
}else{
break;
}
我们把执行一个赋值语句的时间粗略地计为单位时间(unit_time),然后分别用冒泡排序和插入排序对同一个逆序度是 K 的数组进行排序。用冒泡排序,需要 K 次交换操作,每次需要 3 个赋值语句,所以交换操作总耗时就是 3*K 单位时间。而插入排序中数据移动操作只需要 K 个单位时间。
这个只是我们非常理论的分析,为了实验,针对上面的冒泡排序和插入排序的 Java 代码,我写了一个性能对比测试程序,随机生成 10000 个数组,每个数组中包含 200 个数据,然后在我的机器上分别用冒泡和插入排序算法来排序,冒泡排序算法大约 700ms 才能执行完成,而插入排序只需要 100ms 左右就能搞定!
所以,虽然冒泡排序和插入排序在时间复杂度上是一样的,都是
要想分析、评价一个排序算法,需要从执行效率、内存消耗和稳定性三个方面来看。因此,这一节,我带你分析了三种时间复杂度是
这三种时间复杂度为
今天讲的这三种排序算法,实现代码都非常简单,对于小规模数据的排序,用起来非常高效。但是在大规模数据排序的时候,这个时间复杂度还是稍微有点高,所以我们更倾向于用下一节要讲的时间复杂度为
排序对于任何一个程序员来说,可能都不会陌生。你学的第一个算法,可能就是排序。大部分编程语言中,也都提供了排序函数。在平常的项目中,我们也经常会用到排序。排序非常重要,所以我会花多一点时间来详细讲一讲经典的排序算法。
排序算法太多了,有很多可能你连名字都没听说过,比如猴子排序、睡眠排序、面条排序等。我只讲众多排序算法中的一小撮,也是最经典的、最常用的:冒泡排序、插入排序、选择排序、归并排序、快速排序、计数排序、基数排序、桶排序。我按照时间复杂度把它们分成了三类,分三节课来讲解。
带着问题去学习,是最有效的学习方法。所以按照惯例,我还是先给你出一个思考题:
插入排序和冒泡排序的时间复杂度相同,都是
你可以先思考一两分钟,带着这个问题,我们开始今天的内容!
学习排序算法,我们除了学习它的算法原理、代码实现之外,更重要的是要学会如何评价、分析一个排序算法。那分析一个排序算法,要从哪几个方面入手呢?
对于排序算法执行效率的分析,我们一般会从这几个方面来衡量:
我们在分析排序算法的时间复杂度时,要分别给出最好情况、最坏情况、平均情况下的时间复杂度。除此之外,你还要说出最好、最坏时间复杂度对应的要排序的原始数据是什么样的。
为什么要区分这三种时间复杂度呢?第一,有些排序算法会区分,为了好对比,所以我们最好都做一下区分。第二,对于要排序的数据,有的接近有序,有的完全无序。有序度不同的数据,对于排序的执行时间肯定是有影响的,我们要知道排序算法在不同数据下的性能表现。
我们知道,时间复杂度反应的是数据规模 n 很大的时候的一个增长趋势,所以它表示的时候会忽略系数、常数、低阶。但是实际的软件开发中,我们排序的可能是 10 个、100 个、1000 个这样规模很小的数据,所以,在对同一阶时间复杂度的排序算法性能对比的时候,我们就要把系数、常数、低阶也考虑进来。
这一节和下一节讲的都是基于比较的排序算法。基于比较的排序算法的执行过程,会涉及两种操作,一种是元素比较大小,另一种是元素交换或移动。所以,如果我们在分析排序算法的执行效率的时候,应该把比较次数和交换(或移动)次数也考虑进去。
我们前面讲过,算法的内存消耗可以通过空间复杂度来衡量,排序算法也不例外。不过,针对排序算法的空间复杂度,我们还引入了一个新的概念,原地排序(Sorted in place)。原地排序算法,就是特指空间复杂度是 O(1) 的排序算法。我们今天讲的三种排序算法,都是原地排序算法。
仅仅用执行效率和内存消耗来衡量排序算法的好坏是不够的。针对排序算法,我们还有一个重要的度量指标,稳定性。这个概念是说,如果待排序的序列中存在值相等的元素,经过排序之后,相等元素之间原有的先后顺序不变。
我通过一个例子来解释一下。比如我们有一组数据 2,9,3,4,8,3,按照大小排序之后就是 2,3,3,4,8,9。
这组数据里有两个 3。经过某种排序算法排序之后,如果两个 3 的前后顺序没有改变,那我们就把这种排序算法叫作稳定的排序算法;如果前后顺序发生变化,那对应的排序算法就叫作不稳定的排序算法。
你可能要问了,两个 3 哪个在前,哪个在后有什么关系啊,稳不稳定又有什么关系呢?为什么要考察排序算法的稳定性呢?
很多数据结构和算法课程,在讲排序的时候,都是用整数来举例,但在真正软件开发中,我们要排序的往往不是单纯的整数,而是一组对象,我们需要按照对象的某个 key 来排序。
比如说,我们现在要给电商交易系统中的“订单”排序。订单有两个属性,一个是下单时间,另一个是订单金额。如果我们现在有 10 万条订单数据,我们希望按照金额从小到大对订单数据排序。对于金额相同的订单,我们希望按照下单时间从早到晚有序。对于这样一个排序需求,我们怎么来做呢?
最先想到的方法是:我们先按照金额对订单数据进行排序,然后,再遍历排序之后的订单数据,对于每个金额相同的小区间再按照下单时间排序。这种排序思路理解起来不难,但是实现起来会很复杂。
借助稳定排序算法,这个问题可以非常简洁地解决。解决思路是这样的:我们先按照下单时间给订单排序,注意是按照下单时间,不是金额。排序完成之后,我们用稳定排序算法,按照订单金额重新排序。两遍排序之后,我们得到的订单数据就是按照金额从小到大排序,金额相同的订单按照下单时间从早到晚排序的。为什么呢?
稳定排序算法可以保持金额相同的两个对象,在排序之后的前后顺序不变。第一次排序之后,所有的订单按照下单时间从早到晚有序了。在第二次排序中,我们用的是稳定的排序算法,所以经过第二次排序之后,相同金额的订单仍然保持下单时间从早到晚有序。
递归是一种应用非常广泛的算法(或者编程技巧)。之后我们要讲的很多数据结构和算法的编码实现都要用到递归,比如 DFS 深度优先搜索、前中后序二叉树遍历等等。所以,搞懂递归非常重要,否则,后面复杂一些的数据结构和算法学起来就会比较吃力。
不过,别看我说了这么多,递归本身可是一点儿都不“高冷”,咱们生活中就有很多用到递归的例子。
周末你带着女朋友去电影院看电影,女朋友问你,咱们现在坐在第几排啊?电影院里面太黑了,看不清,没法数,现在你怎么办?
别忘了你是程序员,这个可难不倒你,递归就开始排上用场了。于是你就问前面一排的人他是第几排,你想只要在他的数字上加一,就知道自己在哪一排了。但是,前面的人也看不清啊,所以他也问他前面的人。就这样一排一排往前问,直到问到第一排的人,说我在第一排,然后再这样一排一排再把数字传回来。直到你前面的人告诉你他在哪一排,于是你就知道答案了。
这就是一个非常标准的递归求解问题的分解过程,去的过程叫“递”,回来的过程叫“归”。基本上,所有的递归问题都可以用递推公式来表示。刚刚这个生活中的例子,我们用递推公式将它表示出来就是这样的:
f(n) = f(n-1)+1 其中 f(1) = 1
f(n) 表示你想知道自己在哪一排,f(n-1) 表示前面一排所在的排数,f(1)=1 表示第一排的人知道自己在第一排。有了这个递推公式,我们就可以很轻松地将它改为递归代码,如下:
function f(n) {
if(n === 1) return 1;
return f(n-1)+1;
}
刚刚这个例子是非常典型的递归,那究竟什么样的问题可以用递归来解决呢?我总结了三个条件,只要同时满足以下三个条件,就可以用递归来解决。
何为子问题?子问题就是数据规模更小的问题。比如,前面讲的电影院的例子,你要知道,“自己在哪一排”的问题,可以分解为“前一排的人在哪一排”这样一个子问题。
比如电影院那个例子,你求解“自己在哪一排”的思路,和前面一排人求解“自己在哪一排”的思路,是一模一样的。
把问题分解为子问题,把子问题再分解为子子问题,一层一层分解下去,不能存在无限循环,这就需要有终止条件。
还是电影院的例子,第一排的人不需要再继续询问任何人,就知道自己在哪一排,也就是 f(1)=1,这就是递归的终止条件。
刚刚铺垫了这么多,现在我们来看,如何来写递归代码?我个人觉得,写递归代码最关键的是写出递推公式,找到终止条件,剩下将递推公式转化为代码就很简单了。
你先记住这个理论。我举一个例子,带你一步一步实现一个递归代码,帮你理解。
假如这里有 n 个台阶,每次你可以跨 1 个台阶或者 2 个台阶,请问走这 n 个台阶有多少种走法?如果有 7 个台阶,你可以 2,2,2,1 这样子上去,也可以 1,2,1,1,2 这样子上去,总之走法有很多,那如何用编程求得总共有多少种走法呢?
我们仔细想下,实际上,可以根据第一步的走法把所有走法分为两类,第一类是第一步走了 1 个台阶,另一类是第一步走了 2 个台阶。所以 n 个台阶的走法就等于先走 1 阶后,n-1 个台阶的走法 加上先走 2 阶后,n-2 个台阶的走法。用公式表示就是:
f(n) = f(n-1)+f(n-2)
有了递推公式,递归代码基本上就完成了一半。我们再来看下终止条件。当有一个台阶时,我们不需要再继续递归,就只有一种走法。所以 f(1)=1。这个递归终止条件足够吗?我们可以用 n=2,n=3 这样比较小的数试验一下。
n=2 时,f(2)=f(1)+f(0)。如果递归终止条件只有一个 f(1)=1,那 f(2) 就无法求解了。所以除了 f(1)=1 这一个递归终止条件外,还要有 f(0)=1,表示走 0 个台阶有一种走法,不过这样子看起来就不符合正常的逻辑思维了。所以,我们可以把 f(2)=2 作为一种终止条件,表示走 2 个台阶,有两种走法,一步走完或者分两步来走。
所以,递归终止条件就是 f(1)=1,f(2)=2。这个时候,你可以再拿 n=3,n=4 来验证一下,这个终止条件是否足够并且正确。
我们把递归终止条件和刚刚得到的递推公式放到一起就是这样的:
f(1) = 1;
f(2) = 2;
f(n) = f(n-1)+f(n-2)
有了这个公式,我们转化成递归代码就简单多了。最终的递归代码是这样的:
function f(n) {
if(n === 1 || n === 2) {
return n;
}
return f(n-1) + f(n-2)
}
写递归代码的关键就是找到如何将大问题分解为小问题的规律,并且基于此写出递推公式,然后再推敲终止条件,最后将递推公式和终止条件翻译成代码
如果忘记加上用以停止函数递归调用的边界条件,会发生什么呢?递归并不会无限地执行下去;浏览器会抛出错误,也就是所谓的栈溢出错误(stack overflow error)。
ECMAScript 6有尾调用优化(tail call optimization)。如果函数内最后一个操作是调用函数(就像示例中加粗的那行),会通过“跳转指令”(jump) 而不是“子程序调用”(subroutine call)来控制。也就是说,在ECMAScript 6中,这里的代码可以一直执行下去。所以,具有停止递归的边界条件非常重要。
有兴趣的同学可以看下我的另一篇文章:
除此之外,使用递归时还会出现重复计算的问题。刚才我讲的第二个递归代码的例子,如果我们把整个递归过程分解一下的话,那就是这样的:
从图中,我们可以直观地看到,想要计算 f(5),需要先计算 f(4) 和 f(3),而计算 f(4) 还需要计算 f(3),因此,f(3) 就被计算了很多次,这就是重复计算问题。
为了避免重复计算,我们可以通过一个数据结构(比如散列表)来保存已经求解过的 f(k)。当递归调用到 f(k) 时,先看下是否已经求解过了。如果是,则直接从散列表中取值返回,不需要重复计算,这样就能避免刚讲的问题了。
按照上面的思路,我们来改造一下刚才的代码:
const hasSovledList = new Map();
function f(n) {
if(n === 1 || n === 2) {
return n;
}
if(hasSovledList.has(n)) {
return hasSovledList.get(n);
}
let ret = f(n-1) + f(n-2);
hasSovledList.set(n, ret);
return ret;
}
除了堆栈溢出、重复计算这两个常见的问题。递归代码还有很多别的问题。
在时间效率上,递归代码里多了很多函数调用,当这些函数调用的数量较大时,就会积聚成一个可观的时间成本。在空间复杂度上,因为递归调用一次就会在内存栈中保存一次现场数据,所以在分析递归代码空间复杂度时,需要额外考虑这部分的开销,比如我们前面讲到的电影院递归代码,空间复杂度并不是 O(1),而是 O(n)。
递归是一种非常高效、简洁的编码技巧。只要是满足“三个条件”的问题就可以通过递归代码来解决。
不过递归代码也比较难写、难理解。编写递归代码的关键就是不要把自己绕进去,正确姿势是写出递推公式,找出终止条件,然后再翻译成递归代码。
不过递归代码也比较难写、难理解。编写递归代码的关键就是不要把自己绕进去,正确姿势是写出递推公式,找出终止条件,然后再翻译成递归代码。
快速排序也许是最常用的排序算法了。它的复杂度为O(nlogn),且它的性能通常比其他的复杂度为O(nlogn)的排序算法要好。和归并排序一样,快速排序也使用分治的方法,将原始数组分为较小的数组(但它没有像归并排序那样将它们分割开)。
快速排序比到目前为止你学过的其他排序算法要复杂一些。让我们一步步地来学习。
(1) 首先,从数组中选择中间一项作为主元。
(2) 创建两个指针,左边一个指向数组第一个项,右边一个指向数组最后一个项。移动左指针直到我们找到一个比主元大的元素,接着,移动右指针直到找到一个比主元小的元素,然后交换它们,重复这个过程,直到左指针超过了右指针。这个过程将使得比主元小的值都排在主元之前,而比主元大的值都排在主元之后。这一步叫作划分操作。
(3) 接着,算法对划分后的小数组(较主元小的值组成的子数组,以及较主元大的值组成的子数组)重复之前的两个步骤,直至数组已完全排序。
让我们开始快速排序的实现吧:
this.quickSort = function(){
quick(array, 0, array.length - 1);
};
就像归并算法那样,开始我们声明一个主方法来调用递归函数,传递待排序数组,以及索引0及其最末的位置(因为我们要排整个数组,而不是一个子数组)作为参数。
var quick = function(array, left, right){
var index; //{1}
if (array.length > 1) { //{2}
index = partition(array, left, right); //{3}
if (left < index - 1) { //{4}
quick(array, left, index - 1); //{5}
}
if (index < right) { //{6}
quick(array, index, right); //{7}
}
}
};
首先声明index(行{1}),该变量能帮助我们将子数组分离为较小值数组和较大值数组,这样,我们就能再次递归的调用quick函数了。partition函数返回值将赋值给index(行{3})。
如果数组的长度比1大(因为只有一个元素的数组必然是已排序了的(行{2}),我们将对给定子数组执行partition操作(第一次调用是针对整个数组)以得到index(行{3})。如果子数组存在较小值的元素(行{4}),则对该数组重复这个过程(行{5})。同理,对存在较大值得子数组也是如此,如果存在子数组存在较大值,我们也将重复快速排序过程(行{7})。
第一件要做的事情是选择主元(pivot),有好几种方式。最简单的一种是选择数组的第一项(最左项)。然而,研究表明对于几乎已排序的数组,这不是一个好的选择,它将导致该算法的最差表现。另外一种方式是随机选择一个数组项或是选择中间项。
现在,让我们看看划分过程:
var partition = function(array, left, right) {
var pivot = array[Math.floor((right + left) / 2)], //{8}
i = left, //{9}
j = right; //{10}
while (i <= j) { //{11}
while (array[i] < pivot) { //{12}
i++;
}
while (array[j] > pivot) { //{13}
j--;
}
if (i <= j) { //{14}
swap(array, i, j); //{15}
i++;
j--;
}
}
return i; //{16}
};
在本实现中,我们选择中间项作为主元(行{8})。我们初始化两个指针:left(低——行{9}),初始化为数组第一个元素;right(高——行{10}),初始化为数组最后一个元素。
只要left和right指针没有相互交错(行{11}),就执行划分操作。首先,移动left指针直到找到一个元素比主元大(行{12})。对right指针,我们做同样的事情,移动right指针直到我们找到一个元素比主元小。
当左指针指向的元素比主元大且右指针指向的元素比主元小,并且此时左指针索引没有右指针索引大(行{14}),意思是左项比右项大(值比较)。我们交换它们,然后移动两个指针,并重复此过程(从行{11}再次开始)。
在划分操作结束后,返回左指针的索引,用来在行{3}处创建子数组。
swap函数代码如下:
[array[index1], array[index2]] = [array[index2], array[index1]];
今天我们来学习一下“链表(Linked list)”这个数据结构。学习链表有什么用呢?为了回答这个问题,我们先来讨论下链表的经典应用场景,那就是 LRU 缓存淘汰算法。
缓存是一种提高数据读取性能的技术,在硬件设计、软件开发中都有着非常广泛的应用,比如常见的 CPU 缓存、数据库缓存、浏览器缓存等等。
缓存的大小有限,当缓存被用满时,哪些数据应该被清理出去,哪些数据应该被保留?这就需要缓存淘汰策略来决定。常见的策略有三种:先进先出策略 FIFO(First In,First Out)、最少使用策略 LFU(Least Frequently Used)、最近最少使用策略 LRU(Least Recently Used)。
这些策略你不用死记,我打个比方你很容易就明白了。假如说,你买了很多本技术书,但有一天你发现,这些书太多了,太占书房空间了,你要做个大扫除,扔掉一些书籍。那这个时候,你会选择扔掉哪些书呢?对应一下,你的选择标准是不是和上面的三种策略神似呢?
好了,回到正题,我们今天的开篇问题就是:如何用链表来实现 LRU 缓存淘汰策略呢? 带着这个问题,我们开始今天的内容吧!
相比数组,链表是一种稍微复杂一点的数据结构。对于初学者来说,掌握起来也要比数组稍难一些。这两个非常基础、非常常用的数据结构,我们常常将会放到一块儿来比较。所以我们先来看,这两者有什么区别。
我们先从底层的存储结构上来看一看。
为了直观地对比,我画了一张图。从图中我们看到,数组需要一块连续的内存空间来存储,对内存的要求比较高。如果我们申请一个 100MB 大小的数组,当内存中没有连续的、足够大的存储空间时,即便内存的剩余总可用空间大于 100MB,仍然会申请失败。
而链表恰恰相反,它并不需要一块连续的内存空间,它通过“指针”将一组零散的内存块串联起来使用,所以如果我们申请的是 100MB 大小的链表,根本不会有问题。
链表的第一个结点叫做头结点,最后一个结点叫做尾结点。其中,头结点用来记录链表的基地址。有了它,我们就可以遍历得到整条链表。而尾结点特殊的地方是:指针不是指向下一个结点,而是指向一个空地址 Null,表示这是链表上最后一个结点。
与数组一样,链表也支持数据的查找、插入和删除操作。
我们知道,在进行数组的插入、删除操作时,为了保持内存数据的连续性,需要做大量的数据搬移,所以时间复杂度是 O(n)。而在链表中插入或者删除一个数据,我们并不需要为了保持内存的连续性而搬移结点,因为链表的存储空间本身就不是连续的。所以,在链表中插入和删除一个数据是非常快速的。
但是,有利就有弊。链表要想随机访问第 k 个元素,就没有数组那么高效了。因为链表中的数据并非连续存储的,所以无法像数组那样,根据首地址和下标,通过寻址公式就能直接计算出对应的内存地址,而是需要根据指针一个结点一个结点地依次遍历,直到找到相应的结点。
你可以把链表想象成一个队伍,队伍中的每个人都只知道自己后面的人是谁,所以当我们希望知道排在第 k 位的人是谁的时候,我们就需要从第一个人开始,一个一个地往下数。所以,链表随机访问的性能没有数组好,需要 O(n) 的时间复杂度。
循环链表是一种特殊的单链表。。实际上,循环链表也很简单。它跟单链表唯一的区别就在尾结点。我们知道,单链表的尾结点指针指向空地址,表示这就是最后的结点了。而循环链表的尾结点指针是指向链表的头结点。从我画的循环链表图中,你应该可以看出来,它像一个环一样首尾相连,所以叫作“循环”链表。
单向链表只有一个方向,结点只有一个后继指针 next 指向后面的结点。而双向链表,顾名思义,它支持两个方向,每个结点不止有一个后继指针 next 指向后面的结点,还有一个前驱指针 prev 指向前面的结点。
图中我们可以看到,双向链表需要额外的两个空间来存储后继结点和前驱结点的地址。所以,如果存储同样多的数据,双向链表比单向链表占用更多的内存空间。虽然两个指针比较浪费存储空间,但可以支持双向遍历,这样也带来了双向链表操作的灵活性。那相比单向链表,双向链表适合解决哪种问题呢?
从结构上来看,双向链表可以支持 O(1) 时间复杂度的情况下找到前驱结点,正是这样的特点,也使双向链表在某些情况下的插入、删除等操作都要比单链表简单、高效。
我们先来看删除操作。
在实际的软件开发中,从链表中删除一个数据无外乎两种情况:
对于第一种情况,不管是单链表还是双向链表,为了查找到值等于给定值的结点,都需要从头结点开始一个一个依次遍历对比,直到找到值等于给定值的结点,然后再通过我前面讲的指针操作将其删除。
尽管单纯的删除操作时间复杂度是 O(1),但遍历查找的时间是主要的耗时点,对应的时间复杂度为 O(n)。根据时间复杂度分析中的加法法则,删除值等于给定值的结点对应的链表操作的总时间复杂度为 O(n)。
对于第二种情况,我们已经找到了要删除的结点,但是删除某个结点 q 需要知道其前驱结点,而单链表并不支持直接获取前驱结点,所以,为了找到前驱结点,我们还是要从头结点开始遍历链表,直到 p->next=q,说明 p 是 q 的前驱结点。
但是对于双向链表来说,这种情况就比较有优势了。因为双向链表中的结点已经保存了前驱结点的指针,不需要像单链表那样遍历。所以,针对第二种情况,单链表删除操作需要 O(n) 的时间复杂度,而双向链表只需要在 O(1) 的时间复杂度内就搞定了!
同理,如果我们希望在链表的某个指定结点前面插入一个结点,双向链表比单链表有很大的优势。双向链表可以在 O(1) 时间复杂度搞定,而单向链表需要 O(n) 的时间复杂度。你可以参照我刚刚讲过的删除操作自己分析一下。
实际上,这里有一个更加重要的知识点需要你掌握,那就是用空间换时间的设计**。当内存空间充足的时候,如果我们更加追求代码的执行速度,我们就可以选择空间复杂度相对较高、但时间复杂度相对很低的算法或者数据结构。相反,如果内存比较紧缺,比如代码跑在手机或者单片机上,这个时候,就要反过来用时间换空间的设计思路。
还是开篇缓存的例子。缓存实际上就是利用了空间换时间的设计**。如果我们把数据存储在硬盘上,会比较节省内存,但每次查找数据都要询问一次硬盘,会比较慢。但如果我们通过缓存技术,事先将数据加载在内存中,虽然会比较耗费内存空间,但是每次数据查询的速度就大大提高了。
所以我总结一下,对于执行较慢的程序,可以通过消耗更多的内存(空间换时间)来进行优化;而消耗过多内存的程序,可以通过消耗更多的时间(时间换空间)来降低内存的消耗。你还能想到其他时间换空间或者空间换时间的例子吗?
通过前面内容的学习,你应该已经知道,数组和链表是两种截然不同的内存组织方式。正是因为内存存储的区别,它们插入、删除、随机访问操作的时间复杂度正好相反。
不过,数组和链表的对比,并不能局限于时间复杂度。而且,在实际的软件开发中,不能仅仅利用复杂度分析就决定使用哪个数据结构来存储数据。
数组简单易用,在实现上使用的是连续的内存空间,可以借助 CPU 的缓存机制,预读数组中的数据,所以访问效率更高。而链表在内存中并不是连续存储,所以对 CPU 缓存不友好,没办法有效预读。
数组的缺点是大小固定,一经声明就要占用整块连续内存空间。如果声明的数组过大,系统可能没有足够的连续内存空间分配给它,导致“内存不足(out of memory)”。如果声明的数组过小,则可能出现不够用的情况。这时只能再申请一个更大的内存空间,把原数组拷贝进去,非常费时。链表本身没有大小的限制,天然地支持动态扩容,我觉得这也是它与数组最大的区别。
好了,关于链表的知识我们就讲完了。我们现在回过头来看下开篇留给你的思考题。如何基于链表实现 LRU 缓存淘汰算法?
我的思路是这样的:我们维护一个有序单链表,越靠近链表尾部的结点是越早之前访问的。当有一个新的数据被访问时,我们从链表头开始顺序遍历链表。
这样我们就用链表实现了一个 LRU 缓存,是不是很简单?
现在我们来看下 m 缓存访问的时间复杂度是多少。因为不管缓存有没有满,我们都需要遍历一遍链表,所以这种基于链表的实现思路,缓存访问的时间复杂度为 O(n)。
实际上,我们可以继续优化这个实现思路,比如引入散列表(Hash table)来记录每个数据的位置,将缓存访问的时间复杂度降到 O(1)。因为要涉及我们还没有讲到的数据结构,所以这个优化方案,我现在就不详细说了,等讲到散列表的时候,我会再拿出来讲。
归并排序的核心**还是蛮简单的。如果想要排序一个数组,我们先把数组从中间分成前后两部分,然后对前后两部分分别排序,再将排好序的两部分合并在一起,这样整个数组就有序了。
归并排序使用的是分治**。分治,顾名思义,就是分而治之,将一个大问题分解成小的子问题来解决。小的子问题解决了,大问题也就解决了。
从刚才的描述,可以发现分治**跟我们前面讲的递归**很像。是的,分治算法一般都是用递归来实现的。分治是一种解决问题的处理**,递归是一种编程技巧,这两者并不冲突。
实现代码如下:
function mergeSort(arr) {
let len = arr.length;
if(len === 1) return arr;
let mid = Math.floor(len / 2);
let left = arr.slice(0, mid);
let right = arr.slice(mid, len);
return merge(mergeSort(left), mergeSort(right));
}
function merge(left, right) {
let result = [];
let l = 0;
let r = 0;
while(l < left.length && r < right.length) {
if(left[l] <= right[r]) {
result.push(left[l++])
}else{
result.push(right[r++])
}
}
while(l < left.length) {
result.push(left[l++])
}
while(r < right.length) {
result.push(right[r++])
}
return result;
}
归并排序稳不稳定关键要看 merge
函数,也就是两个有序字数组合并成一个有序数组的那部分代码。如果有左右两个数组有相等的元素,优先把左边的元素放入数组,保证顺序不变。因此,归并排序是一个稳定的排序算法。
递归的适用场景是,一个问题 a 可以分解为多个子问题 b、c,那求解问题 a 就可以分解为求解问题 b、c。问题 b、c 解决之后,我们再把 b、c 的结果合并成 a 的结果。
如果我们定义求解问题 a 的时间是 T(a),求解问题 b、c 的时间分别是 T(b) 和 T( c),那我们就可以得到这样的递推关系式:
T(a) = T(b) + T(c) + K
其中 K 等于将两个子问题 b、c 的结果合并成问题 a 的结果所消耗的时间。
从刚刚的分析,我们可以得到一个重要的结论:
不仅递归求解的问题可以写成递推公式,递归代码的时间复杂度也可以写成递推公式。
套用这个公式,我们来分析一下归并排序的时间复杂度。
我们假设对 n 个元素进行归并排序需要的时间是 T(n),那分解成两个子数组排序的时间都是 T(n/2)。我们知道,merge() 函数合并两个有序子数组的时间复杂度是 O(n)。所以,套用前面的公式,归并排序的时间复杂度的计算公式就是:
T(1) = C; n=1 时,只需要常量级的执行时间,所以表示为 C。
T(n) = 2*T(n/2) + n; n>1
通过这个公式,如何来求解 T(n) 呢?还不够直观?那我们再进一步分解一下计算过程。
T(n) = 2*T(n/2) + n
= 2*(2*T(n/4) + n/2) + n = 4*T(n/4) + 2*n
= 4*(2*T(n/8) + n/4) + 2*n = 8*T(n/8) + 3*n
= 8*(2*T(n/16) + n/8) + 3*n = 16*T(n/16) + 4*n
......
= 2^k * T(n/2^k) + k * n
......
通过这样一步一步分解推导,我们可以得到 T(n) = 2^kT(n/2^k)+kn。当 T(n/2^k)=T(1) 时,也就是 n/2^k=1,我们得到 k=log2n 。我们将 k 值代入上面的公式,得到 T(n)=Cn+nlog2n 。如果我们用大 O 标记法来表示的话,T(n) 就等于 O(nlogn)。所以归并排序的时间复杂度是 O(nlogn)。
从我们的原理分析和伪代码可以看出,归并排序的执行效率与要排序的原始数组的有序程度无关,所以其时间复杂度是非常稳定的,不管是最好情况、最坏情况,还是平均情况,时间复杂度都是 O(nlogn)。
归并排序的时间复杂度任何情况下都是 O(nlogn),看起来非常优秀。(待会儿你会发现,即便是快速排序,最坏情况下,时间复杂度也是 O(n2)。)但是,归并排序并没有像快排那样,应用广泛,这是为什么呢?因为它有一个致命的“弱点”,那就是归并排序不是原地排序算法。
这是因为归并排序的合并函数,在合并两个有序数组为一个有序数组时,需要借助额外的存储空间。这一点你应该很容易理解。那我现在问你,归并排序的空间复杂度到底是多少呢?是 O(n),还是 O(nlogn),应该如何分析呢?
如果我们继续按照分析递归时间复杂度的方法,通过递推公式来求解,那整个归并过程需要的空间复杂度就是 O(nlogn)。不过,类似分析时间复杂度那样来分析空间复杂度,这个思路对吗?
实际上,递归代码的空间复杂度并不能像时间复杂度那样累加。刚刚我们忘记了最重要的一点,那就是,尽管每次合并操作都需要申请额外的内存空间,但在合并完成之后,临时开辟的内存空间就被释放掉了。在任意时刻,CPU 只会有一个函数在执行,也就只会有一个临时的内存空间在使用。临时内存空间最大也不会超过 n 个数据的大小,所以空间复杂度是 O(n)。
我们都知道,数据结构和算法本身是为了解决“快”和“省”的问题,即如何让代码运行更快,如何让代码更省内存空间,成了衡量一个算法执行效率的两个重要标准,简称就是 时间复杂度
和空间复杂度
。
传统的性能测试(事后统计法),就是把代码跑一遍,通过统计、监控,得到算法执行的时间和占用的内存,但是这种测试非常依赖测试坏境,并且测试结果受数据规模的影响很大。
相反,复杂度分析不依赖执行环境,就可以粗略的估算出算法的执行效率,成本小,易操作,指导性强,如果掌握了复杂度分析,往往能编写出性能更优的代码,有利于降低系统开发和维护成本。
算法的执行效率,粗略的讲,就是算法的执行时间。但是,如何在不运行代码的情况下,用“肉眼”就能看出一段代码的执行时间呢?
这里有一段非常简单的代码,求 1,2,3…n 的累加和,我们来尝试估算下该代码的执行时间。
function cal(n) {
let sum = 0;
let i = 1;
for(; i <= n; i++) {
sum += i;
}
return sum;
}
我们假设每行代码的执行时间都是一样的,为 unit_time,那么第 2、3 行代码分别需要 1 个 unit_time 的执行时间,第 4 、 5 行代码分别运行了 n 遍,因此需要 2n * unit_time 的执行时间,所以这段代码总的执行时间为 (2n+2) * unit_time。可以看出来,所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。
按照这个思路,我们再分析一段代码。
function cal(n) {
let sum = 0;
let i = 1;
for(; i <= n; i++) {
let j = 1;
for(; j <= n; j++) {
sum += i * j;
}
}
return sum;
}
第 2、3 行代码,每行都需要 1 个 unit_time 的执行时间,第 4、5 行代码循环执行了 n 遍,需要 2n * unit_time 的执行时间,第 6、7 行代码循环执行了
尽管我们不知道 unit_time 的具体值,但是通过这两段代码执行时间的推导过程,我们可以得到,所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 n 成正比。
我们把这个规律总结成一个公式,那就是 大O表示法
:
其中,T(n) 表示代码执行的时间,n 表示数据规模的大小,f(n) 表示每行代码的执行次数总和,公式中的 O,表示代码中的执行时间 T(n) 和 f(n) 成正比。
所以第一个例子中的 T(n) = O(2n + 2),第二个例子中的 T(n) = O(2n + 2$n^{2}$ + 2),就是 大O时间复杂度表示法
。
大O时间复杂度实际上并不代表代码真正的执行时间,而是代表代码执行时间随数据规模增长的变化趋势,简称时间复杂度。
当 n 很大时,你可以把它想象成 10000、100000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势,所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了,如果用大 O 表示法表示刚讲的那两段代码的时间复杂度,就可以记为:T(n) = O(n); T(n) = O(n)。
大 O 这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。我们通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数,只需要记录一个最大阶的量级就可以了。所以,我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候,也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。这段核心代码执行次数的 n 的量级,就是整段要分析代码的时间复杂度。
还是那之前的例子来说。
function cal(n) {
let sum = 0;
let i = 1;
for(; i <= n; i++) {
sum += i;
}
return sum;
}
其中第 2、3 行代码都是常量级的执行时间,与 n 的大小无关,所以对于复杂度并没有影响。循环执行次数最多的是第 4、5 行代码,所以这块代码要重点分析。前面我们也讲过,这两行代码被执行了 n 次,所以总的时间复杂度就是 O(n)。
我们先来看一段代码。
function cal(n) {
let sum1 = 0;
let sum2 = 0;
let sum3 = 0;
// 第一部分
for(let i = 1; i <= 100; i++) {
sum1 += i;
}
// 第二部分
for(let i = i; i <= n; i++) {
sum2 += i
}
// 第三部分
for(let i = 1; i <= n; i++) {
for(let j = 1; j <= n; j++) {
sum3 = sum3 + i + j;
}
}
return sum1 + sum2 + sum3;
}
这个代码分为三部分,分别是求 sum_1、sum_2、sum_3。我们可以分别分析每一部分的时间复杂度,然后把它们放到一块儿,再取一个量级最大的作为整段代码的复杂度。
第一段的时间复杂度是多少呢?这段代码循环执行了 100 次,所以是一个常量的执行时间,跟 n 的规模无关。
那第二段代码和第三段代码的时间复杂度是多少呢?答案是 O(n) 和 O(
综合这三段代码的时间复杂度,我们取其中最大的量级。所以,整段代码的时间复杂度就为 O(
如果 T1(n)=O(f(n)),T2(n)=O(g(n));那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n)))=O(max(f(n), g(n))).
我们根据加法法则来推导出乘法法则的计算公式,如果 T1(n) = O(f(n)),T2(n) = O(g(n)),那么 T(n) = T1(n) * T2(n) = O(f(n)) * O(g(n)) = O(f(n) * g(n))。
function cal(n) {
let sum = 0;
for(let i = 1; i <= n; i++) {
sum += f(i)
}
}
function f(n) {
let sum = 0;
for(let i = 1; i <= n; i++) {
sum += i;
}
return sum;
}
单独函数 cal 的时间复杂度为 T1(n) = O(n),单独函数 f 的时间复杂度为 T2(n) = O(n),所以,整个函数 cal 的时间复杂度就是,T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(
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