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线性代数：未竟之美

线性代数：未竟之美

为什么会有这个仓库

线性代数作为很多同学大学接触的第一门数学课，一方面其重要性不言而喻，在很多专业中都是必要的预修知识，另一方面很多同学也是第一次接触如此抽象的数学内容，因此在学习线性代数时会遇到很多困难。特别是浙江大学图灵班同学两学期要面对的《大学数学：代数与几何》和《线性代数应该这样学》两本教材，第一本直接从抽象的线性空间和线性映射引入，抛弃了传统工科线性代数从行列式起步的教授方式，更能让同学了解线性代数的本质，但入门存在一些困难。而第二本教材风格则更偏向于数学专业课，整体比较抽象，以“算子”为核心，避开行列式叙述线性代数中的核心理论，其目的只是为了表明他所讲的内容和传统线性代数是统一的。

我想如果能将这两本教材学好，线性代数的基础将会是非常扎实的。但理念与实际执行有很大的偏差，并非所有同学都能在初学时完全接受抽象的教学方式。除此之外，线性代数（或高等代数）还有很多的参考资料（如丘维声老师，谢启鸿老师的高等代数，或是 Strang 老先生的线性代数，或是 3blue1brown 的线性代数的本质），但同学们如果完全投入时间到这些参考书，很容易陷入迷茫，并且与最终的考试风格也相距较远。因此我们希望有一本讲义能综合这些资料中与这两门课的学习关联的部分，优化内容安排，并安排足量的习题供同学练习，以便同学们能够更好地学习线性代数。

另一方面，线性代数是一个古老而年轻的学科。它发轫于早先对线性方程组的研究，经历了漫长的几何和代数的交错作用，最后又在近世代数的发展过程中被严格化。直到现在，一些相关的内容，例如线性代数群的研究尚且方兴未艾，在现代数学的种种支线当中也有着重要的应用。另外，它的方法论，尤其是其对代数结构的研究在现代数学中也具备着代表性。因此，我们希望呈现一个更广阔的线性代数观，从线性代数出发，对它的现代发展和它在现代数学的各个分支的应用进行一些导论性的介绍，这一方面是为了使得平淡的叙述更加有趣，另一方面也是为了回答一个疑问：线性代数到底有什么用？我们相信，这是许多初学者都有的一个问题，回答这个问题既需要对线性代数的深入学习，也需要有一个现代数学的全局观，这也就带来了本书的另一个部分，未竟专题，也是我们这本书的标题来源。

目前讲义的内容

我们的讲义目前分别两个部分：

• 其一为主线章节，我们针对浙江大学图灵班线性代数 Ⅰ 和 II 的两本教材，希望更好地引导初学者理解抽象的**，也力图搭建一个较为完整的线性代数学习体系。当然由于目前编写尚未完整，讲义中仍有大量的内容是与我们的参考教材紧密联系的，因此推荐阅读本讲义时结合教材进行阅读。在这一部分中，我们希望这份讲义是兼容多本教材的特色的。一方面我们希望能从更专业的视角，而非一般的工科线性代数的角度讲述线性代数，又能更加贴合同学对通过考试的需求，找寻更好的切入点介绍知识，并配套大量习题（并提供参考答案）供同学练习，同时也整理往年考试真题供读者参考。总之，我们希望这份讲义是对教材的补充，是融合了很多资料的观点的深入浅出的一份参考。

• 其二为未竟专题，我们希望以线性代数为主线，贯串现代数学的诸方向，目前涵盖分析（Hilbert 空间、线性动力系统）、几何（微分几何、微分形式）、李群和李代数、低维拓扑（扭结理论）、组合学（图论与线性代数）、范畴论等领域。这一些内容主要回答的是线性代数有什么用和从线性代数出发我们能走多远的问题，力求呈现一些看上去复杂的东西的初等形式，为读者提供更进一步的阅读资源。

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linear-algebra-left-undone's Issues

1.4.1 高斯消元法基本步骤中唯一解判断条件不充分

原文是：

判断有唯一解时，还应增加条件：末位主元素的行号r与系数矩阵的列数n相等.

教材对照:

303页结式应该是用来判断多项式公共根而不是非零根的存在性的？

关于“构造性证明”的讨论

预备**章节中用这个命题作为非构造性证明的例子：
$$
证明：存在无理数 $x, y$ 使得 $x^y$ 为有理数.
假定 $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ 为有理数，则原命题得证；假定其为无理数，则 $\left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}$ 为有理数，原命题仍得证.
$$
我感觉这个不能算是严格的非构造性证明了，因为还是构造出了一个具体的数，只是没有对这个数是否是有理数做出定论。严格意义上非构造性证明应该是不依赖于具体的什么例子的。

107页例5.8小bug

v0.4版107页例5.8中的“连续函数”应改为“光滑函数”，毕竟该例中的线性空间V要求对求导运算封闭

参考文献一处链接不太对劲

是蓄意为之吗🥺

Linear-Algebra-Left-Undone/讲义/其它/序.tex

Line 42 in 2428614

最后如果读者学完本讲义后对代数学有浓厚的兴趣，非常推荐读者学习后续的抽象代数课程。这里推荐与我同级的图灵班同学编写的\href{https://frightenedfoxcn。github。io/notes/series/alg-for-cs/}{《写给计算机系学生的代数》}作进一步的了解，我们许多高级专题都对这一讲义有引用。

188页图示可能引发误解

容易把向量和坐标混淆起来，向量本身不会随着坐标变换而改变，但是坐标会；它们两个对于任意映射相同是在F^m,F^n的自然基下讨论的。
在之前丹青辅学的时候遇到过有同学有这个疑问。

关于下载的问题

我在下载讲义，进行到这一步的时候出现这种问题，请问如何解决，拜托大佬，我是个高中生，虚心请教！！

13讲 行列式 小语病

Linear-Algebra-Left-Undone/讲义/专题/13 行列式.tex

Line 30 in 7fae188

在公理化定义中，我们将行列式定义为一个满足特定的运算性质的从列向量组合到数的函数. 事实上，公理化定义从是逆序数定义可以推导出的行列式的运算性质，教材采用这种定义避开了繁琐的说明.

应从公理化定义从是逆序数定义可以推导出的改为公理化定义是可以从逆序数定义推导出的。